Bài 1. Tìm tập hợp các điểm trong mặt phẳng phức Oxy biểu diễn số phức w = \left( {1 + i\sqrt 3 } \right)z + 2, biết rằng số phức z thoả mãn \left| {z - 1} \right| \le 2
Đặt z=a+bi \ (a,b\in R)
Ta có: \left|z-1\right|\leq 2\Leftrightarrow ({a-1})^{2}+{b}^{2}\leq 4 (1)
Từ \omega =(1+i\sqrt{3})z+2\Rightarrow (x+yi)=(1+i\sqrt{3})(a+bi)+2 \Leftrightarrow \begin{cases} & x= a-b\sqrt{3}+2 \\ & y= \sqrt{3}a+b \end{cases} \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} & & x-3=a-1+b\sqrt{3}\\ & & y-\sqrt{3}=\sqrt{3}(a-1)+b \end{matrix}\right.
Từ đó ({x-3})^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}\leq 4[({a-1}^{2})+{b}^{2}]\leq 16
Vậy tập hợp các điểm cần tìm là hình tròn ({x-3})^{2}+(y-\sqrt{3})^{2}\leq 16 ; tâm I(3;\sqrt{3}), bán kính R=4
Bài 2. Chứng minh số phức z = \left( {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 3 - 3i}}} \right)^{24} là số thực.
\begin{array}{l} z = \left( {\frac{{1 - i}}{{\sqrt 3 - 3i}}} \right)^{24} \\ = \frac{{\left( {\sqrt 2 } \right)^{24} \left[ {\cos \left( { - \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^{24} }}{{2^{24} \left[ {\cos 4\pi + i\sin 4\pi } \right]}} \\ = \frac{{\cos \left( { - 6\pi } \right) + i\sin \left( { - 6\pi } \right)}}{{2^{12} \left( {\cos 4\pi + i\sin 4\pi } \right)}} \\ = \frac{1}{{2^{12} }} = \frac{1}{{4096}} \\ \end{array}
Bài 3. Tìm số phức z thỏa mãn: z^3 + |z| = 1 - i
Ta có thể viết : z=r(\cos \varphi +i \sin \varphi),\ r>0 khi đó phương trình viết lại thành : r^3(\cos 3\varphi + i\sin 3\varphi)+r=1-i \Leftrightarrow \begin{cases} \cos 3\varphi=\frac{1-r}{r^3} \\ \sin 3\varphi=\frac{-1}{r^3} \end{cases}Từ đây ta có phương trình : (1-r)^2+1=r^6 \Leftrightarrow (r-1)(r^5+r^4+r^3+r^2+2)=0 \Leftrightarrow r=1Ta đã có r=1 suy ra : z^3=-i. và tới đây công việc còn lại là đơn giản, các bạn có thể làm tiếp được.
Bài 4. Tìm căn bậc hai của số phức z = (1 + i)^{20}.
Ta có : (1+i)^{20}=[(1+i)^2]^{10}=(2i)^{10}=-1024. Đến đây chỉ còn là tìm căn bậc hai của -1024=1024i^2.
Bài 5. Cho a, b, c là ba số phức thỏa mãn a+b+c=0 và |a|=|b|=|c|=1. Chứng minh rằng 3\le |z-a|+|z-b|+|z-c|\le 4, với mọi z\in\mathbb{C} và |z| \le 1.
Giả sử A, B, C là ba điểm biểu diễn các số phức a, b, c, M là điểm biểu diễn số phức z.
Theo giả thiết thì : OA=OB=OC=1 và \overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+ \overrightarrow{OC}=\overrightarrow{0}\quad (1).
Từ đây suy ra ngay tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn tâm O có bán kính R=1. Ta phải chứng minh : 3R \le MA+MB+MC \le 4RTrong đó M là điểm bất kỳ nằm trong hình tròn tâm O bán kính R=1.
Ta có : MA=\frac{MA.OA}{R} \ge \frac{ \overrightarrow{MA}.\overrightarrow{OA}}{R}=\frac{\overrightarrow{MO}.\overrightarrow{OA}}{R}+R Thiết lập các bất đẳng thức tương tự rồi cộng lại, chú ý đến (1) ta thu được ngay : MA+MB+MC \ge 3RĐể chứng minh bất đẳng thức sau, không mất tính tổng quát, giả sử M thuộc miền như hình vẽ, dễ thấy : [HINT]Miền giới hạn bởi OB, OC và cung nhỏ BC.[/HINT]
120^{\circ} \le \widehat{BMC} <180^{\circ} \Rightarrow BC^2=MB^2+MC^2-2.MB.MC\cos \widehat{BMC} \ge MB^2+MC^2+MB.MC \quad (2)Từ (2) chú ý BC^2=3R^2,\ 3(MB+MC)^2 \le 4(MB^2+MB.MC+MC^2) ta có ngay : MB+MC \le 2R
Kết hợp với MA \le 2R suy ra : MA+MB+MC \le 4R.
0 nhận xét