Loading web-font TeX/Main/Regular

Thực hành để thành công


Thứ Tư, 24 tháng 10, 2012

Phương trình mũ [Lần 3]

Bài 1. Giải phuơng trình(26 + 15\sqrt{3})^x - 3(7 + 4\sqrt{3})^x - 2(2 + \sqrt{3})^x +(2   - \sqrt{3})^x  = 3


Để ý rằng 26+15\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^3,\, 7+4\sqrt{3}=\left(2+\sqrt{3}\right)^22-\sqrt{3}=\frac{1}{2+\sqrt{3}}. Do đó, nếu đặt t=\left(2+\sqrt{3}\right)^x thì ta có thể viết lại phương trình đã cho dưới dạng t^3-3t^2-2t+\frac{1}{t}=3,
tức t^4-3t^3-2t^2-3t+1=0.
Đây là phương trình hồi quy bậc 4 nên ta có thể giải bằng cách chia hai vế cho t^2 rồi đặt ẩn phụ u=t+\frac{1}{t}. Ngoài cách này, ta cũng có thể giải trực tiếp bằng phân tích nhân tử. Ta có phương trình ở trên tương đương với (t^2+t+1)(t^2-4t+1)=0.
Do t>0 nên ta có t^2-4t+1=0, tức t=2+\sqrt{3} \vee t=2-\sqrt{3}.

Từ đây, bằng cách suy ngược lại theo x, ta có x=1 hoặc x=-1. Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x=1x=-1.


Bài 2. Giải phương trình: {3}^{x} = x + \sqrt{{x}^{2} + 1}


Ta biến đổi phương trình đã cho thành : \ \ln \left(x + \sqrt{x^2+1} \right) - x\ln 3.
Xét hàm số \ y = f(x) = \ln \left(x + \sqrt{x^2+1} \right) - x\ln 3 trên \mathbb R.
Ta có : \ f'(x)= \dfrac{1}{\sqrt{x^2+1}} - \ln 3 <0. Suy ra hàm số y=f(x) nghịch biến trên \mathbb R. Do đó phương trình f(x)=0 có không quá một nghiệm.
Mà ta có \ f(0)=0 \Rightarrow x=0 là nghiệm duy nhất của phương trình.


Bài 3. Giải phương trình:25^x-2(3-x)5^x+2x-7=0


Xem phương trình đã cho là phương trình bậc hai theo ẩn 5^x. Phương trình này có biệt số \Delta' = (3-x)^2 - (2x-7)=(x-4)^2
Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt :\left[\begin{matrix} 5^x = 3-x+x-4 =-1 \quad \mbox{(vô nghiệm)} \\ 5^x =3-x -x +4 =7 -2x \end{matrix} \right.
Đối với phương trình : 5^x =7-2x không khó để nhận thấy phương trình này có nghiệm duy nhất x=1


Bài 4. Giải phương trình:  2^{3x} + 3^{\textstyle \frac{2}{x}} = 17


Xét f(x) = {2}^{3x} + 3^{\textstyle\frac{2}{x}}
Dễ dàng chứng minh được f''(x) > 0, do đó f(x) = 0 có tối đa 2 nghiệm
Lại có f(1) = f({\log}_{8}9) = 17
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là 1{\log}_{8}9


Bài 5. Giải phương trình: \log_2 \frac{4^x-2^x+1}{2.16^x-2.4^x+1}=2^x(2.8^x-3.2^x+1)


Đặt:
a=4^x-2^x+1 (ĐK: a>0)
b=2.16^x-2.4^x+1 (ĐK: b>0)
Vậy:
PT \Longleftrightarrow \log_2 \left(\dfrac{a}{b}\right)=b-a
\Longleftrightarrow \log_2 a+a=\log_2 b+b(1)

-Xét hàm số: f(x)=\log_2 x+x Với x>0
Ta có:
f'(x)=\dfrac{1}{x.\ln 2}+1 >0 với mọi x>0
\Rightarrow f(x) đống biến trên (0,+\infty)
-Nên:
(1) \Longleftrightarrow a=b
\Longleftrightarrow4^x-2^x+1=2.16^x-2.4^x+1
\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^x = 1 \\ 2^x = \dfrac{1}{2} \\ 2^x=0 (L)\end{array} \right.
\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1 \\ x = -1  \end{array} \right.







Chia sẻ
  • Share to Facebook
  • Share to Twitter
  • Share to Google+
  • Share to Stumble Upon
  • Share to Evernote
  • Share to Blogger
  • Share to Email
  • Share to Yahoo Messenger
  • More...

0 nhận xét

:) :-) :)) =)) :( :-( :(( :d :-d @-) :p :o :>) (o) [-( :-? (p) :-s (m) 8-) :-t :-b b-( :-# =p~ :-$ (b) (f) x-) (k) (h) (c) cheer

 
© 2011 ThựcHành.vn
Designed by Nguoithay.vn Cooperated with Duy Pham
Phiên bản chạy thử nghiệm
Theo dõi bài viếtTheo dõi nhận xét
Lên đầu trang