Processing math: 100%

Thực hành để thành công


Thứ Năm, 25 tháng 10, 2012

Phương trình mũ [Lần 6]

Bài 1. Giải phương trình : 15x.5^x=5^{x+1}+27x+23


Ta có phương trình đã cho tương đương với 5^{x+1}(3x-1)=27x+23. Do 5^{x+1}>03x-1,\, 27x+23 không đồng thời bằng 0 nên từ đây suy ra (3x-1)(27x+23)>0, tức x<-\frac{23}{27}\vee x> \frac{1}{3}. Tiếp theo, để giải bài toán, ta sẽ viết phương trình dưới dạng 5^{x+1} =\frac{27x+23}{3x-1} \quad (1) và xét hai trường hợp:

Trường hợp x>\frac{1}{3}: Ta có vế trái là hàm liên tục và đồng biến trên \mathbb R, trong khi đó vế phải là hàm liên tục và nghịch biến trên \left(\frac{1}{3},\, +\infty\right) (do 27\cdot (-1)-23\cdot 3<0) nên (1) chỉ có thể có tối đa một nghiệm trên miền này. Mặt khác, dễ thấy x=1 thỏa mãn phương trình nên đây cũng là nghiệm duy nhất của (1) trên miền \left(\frac{1}{3},\, +\infty\right).
Trường hợp x<-\frac{23}{27}: Lý luận tương tự như trên, vế trái là hàm liên tục và đồng biến trên \mathbb R, còn vế phải là hàm liên tục và nghịch biến trên \left(-\infty,\, -\frac{23}{27}\right) nên phương trình (1) cũng chỉ có thể có tối đa một nghiệm trên miền này. Và do x=-1 thỏa mãn phương trình nên nó cũng là nghiệm duy nhất của phương trình trên miền \left(-\infty,\, -\frac{23}{27}\right).
Kết luận: phương trình đã cho có tất cả hai nghiệm là x=1x=-1.

Bài 2. Giải phương trình: 4^x +(x-12).2^x +11-x =0

Ta viết phương trình lại dưới dạng phương trình bậc 2 của \ 2^x. Khi đó ta được: 2^{2x}+(x-12)2^x+11-x=0 Không khó khăn để tính được: \Delta =(x-10)^2, suy ra: \left[\begin{array}{1} 2^x=1 \\\ 2^x=11-x \end{array} \right.


Bài 3. Giải phương trình:{3^x} - {3^{1 - x}} - 3 + 3\sqrt {{3^{ - 2x}} - {3^{1 - x}} + 1}  = 0.


Ta viết lại phương trình đã cho như sau:
3^x-\frac{3}{3^x}-3+3\sqrt{\frac{1}{(3^x)^2}-\frac{3}{3^x}+1}=0
Đặt 3^x=t(t>0)
Phương trình được viết lại thành
t-\frac{3}{t}-3+3\sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{3}{t}+1}=0
Đến đây chuyển vế bình phương ta được
t^2+\frac{45}{t}-6t-6=0


Bài 4. Giải phương trình 2x+x^{2\log_{6}{2}}=3.x^{2\log_{6}{3}}


Điều kiện x>0
 Phương trình tương đương 2{{x}^{{{\log }_{6}}6}}+{{x}^{l{{o}_{6}}4}}=3.{{x}^{{{\log }_{6}}9}}
\Leftrightarrow {{2.6}^{{{\log }_{6}}x}}+{{4}^{{{\log }_{6}}x}}={{3.9}^{{{\log }_{6}}x}}
\Leftrightarrow 2.{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{{{\log }_{6}}x}}+{{\left( {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{{{\log }_{6}}x}} \right)}^{2}}-3=0
\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{{{\log }_{6}}x}}=1\Leftrightarrow {{\log }_{6}}x=0\Leftrightarrow x=1


Bài 5. Giải phương trình 2^{x^2+2}+(x^2-1)\sqrt[3]{x^2+2}=8


Đặt t=x^2+2\geq 2 được phương trình ẩn t: 2^t+(t-3)\sqrt[3]{t}=8.
Xét hàm số f(t)=2^t+(t-3)\sqrt[3]{t} có đạo hàm
 f'(t)=2^t \ln2 + \dfrac{4t-3}{\sqrt[3]{t^2}}>0, \forall t\geq 2
nên hàm số đồng biến  với t=\geq 2.
Dễ thấy t=3 là nghiệm và là nghiệm duy nhất hay x=\pm 1 là 2 nghiệm PT đã cho.






Chia sẻ
  • Share to Facebook
  • Share to Twitter
  • Share to Google+
  • Share to Stumble Upon
  • Share to Evernote
  • Share to Blogger
  • Share to Email
  • Share to Yahoo Messenger
  • More...

0 nhận xét

:) :-) :)) =)) :( :-( :(( :d :-d @-) :p :o :>) (o) [-( :-? (p) :-s (m) 8-) :-t :-b b-( :-# =p~ :-$ (b) (f) x-) (k) (h) (c) cheer

 
© 2011 ThựcHành.vn
Designed by Nguoithay.vn Cooperated with Duy Pham
Phiên bản chạy thử nghiệm
Theo dõi bài viếtTheo dõi nhận xét
Lên đầu trang