MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC (CƠ BẢN) |
Nhắc lại:
* BĐT Côsi áp dụng cho hai số không âm :
(1)
- Cách viết tương đương: . (2)
Dấu xẩy ra khi và chỉ khi .
* Chú ý: Với hai số thực tùy ý , ta có:
- (Vì .
* Một số kết quả thường dùng:
.
Thật vậy, vì nên . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
.
.
.
Thật vậy, vì nên . Áp dụng BĐT (2) cho hai số này ta được:
.
.
————————————
MỘT SỐ BÀI TẬP
Bài 1: Bài toán thuận.
Chứng minh rằng với mọi ta có: .
Dấu đẳng thức (dấu bằng) xảy ra khi nào ?
Hướng dẫn:
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của . Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
(*)
Vì nên .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương , ta có:
Hay . (**)
Kết hợp với (*), suy ra:
.
Vậy (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra
(do )
.
——-
Trong bài toán này có chứa hai số hạng dạng nghịc đảo. Vì đã có số hạng nên phần còn lại phải biểu diễn thành thừa số của . Vậy ta phải viết lại vế trái như sau:
(*)
Vì nên .
Áp dụng bất đẳng thức Côsi (2) cho 2 số dương , ta có:
Hay . (**)
Kết hợp với (*), suy ra:
.
Vậy (đpcm)
Theo (**), dấu đẳng thức xảy ra
(do )
.
——-
Bài 2: Bài toán ngược của dạng Bài toán 1.
Chứng minh rằng
Hướng dẫn:
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là . (3)
Quay lại bài tập này, với mọi thì . Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
. (đpcm)
Dấu “=” xảy ra .
Khác với bài 1, vế trái bài này có dạng tích, nên ta cần chú ý một dạng tương đường của BĐT (1) là . (3)
Quay lại bài tập này, với mọi thì . Vậy áp dụng BĐT (3) cho hai số không âm này ta có:
. (đpcm)
Dấu “=” xảy ra .
——————
BÀI TẬP TỰ GIẢI.
Chứng minh rằng:
1. .
2.
3. Với mọi góc , ta có: .
4. .
5. .
—————
0 nhận xét