Thứ Bảy, 11 tháng 8, 2012

Cực trị của hàm số

Dạng toán 1: Điều kiện để hàm số (đồ thị hàm số) y = f(x, m) có cực trị

Phương pháp giải:

Để xác định các giá trị của tham số m sao cho hàm số (đồ thị hàm số) $y=f(x,m)$ có n cực trị ta tiến hành như sau :

Tìm tập xác định D của hàm số

Tính đạo hàm $y'=f'(x,m)$

Xác định điều kiện để $f'(x,m)$ đồi dấu n lần trên tập $D$

Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị m thỏa nó (cũng là thỏa bài toán)

Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất việc giải toán

Chú ý́

Các hàm số: $y=ax^3+bx^2+cx+d$ $(a\ne0)$ , $y=\frac{ax^2+bx+c}{a'x+b'}$

Hoặc không có cực trị hoặc có hai cực trị (gồm một cực đại và một cực tiểu)

Điều kiện để có cực trị của hàm số đó là: PT $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt.

Ví dụ: Cho hàm số $y= \frac{x^2+2m^{2}x+m^2}{x+1}$ với giá trị nào của $m$ thì hàm số có cực trị.

Hướng dẫn giải:

Tập xác định : $D=R\backslash \left\{{-1} \right\}$
Đạo hàm: $y'=\frac{x^2+2x+m^2}{\left({x+1} \right)^2}$
Đặt $\phi (x)=x^2+2x+m^2$
Hàm số có cực trị $\Leftrightarrow$ $\phi (x)=0$ có hai nghiêm phân biệt

thỏa $\left\{\begin{array}{l}{\Delta}>0 \\ \phi(-1) \ne 0 \end{array}\right.$

Đáp án: $-1<m<1$

Bài tập rèn luyện:

Bài 1. Xét hàm số: $y=x^3-(m-1)x^2+(2m-1)x+9m-5$ . Xác định các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số có hai cực trị

Bài 2. Xét hàm số: $y=mx^3+(m-1)x^2+(2m-3)x+m-7$ . Xác định các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm só có cực trị

Bài 3. Xét hàm số: $y=(m - 1)x^3-(2m - 1)x^2+(m-3)x+11m-1$ . Xác định các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số không có cực trị

Bài 4. Xét hàm số: $y=\frac{x^2-(m-2)x+3m+1}{x-2}$ . Xác định các giá trị của tham số $m$ sao cho hàm số có cực trị

Bài 5. Xét hàm số: $y=\frac{mx^2-(m+1)x+2m-6}{x+1}$ . Xác định các giá trị của tham số $m$ sao cho hàmCo số không có cực trị

Trích: http://kenhdaihoc.com/forum/forums/552-Toan-hoc.kdh

Dạng toán 2: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm.

Điều kiện để hàm số có cực trị tại $x=x_0$

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left({x_0}\right)=0 \\ y''\left({x_0}\right) \ne 0 \\ \end{array} \right.$

Điều kiện để hàm số có cực đại tại $x_0$

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left({x_0}\right)=0 \\ y''\left({x_0}\right)<0 \\ \end{array} \right.$

Điều kiện để hàm số có cực tiểu tại $x_0$

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left({x_0}\right)=0 \\ y''\left({x_0}\right)>0 \\ \end{array} \right.$

Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại, cực tiểu)

$y'$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l}{\Delta}>0 \\ a \ne 0 \end{array}\right.$

Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị :

$y'=0$ có 3 nghiệm phân biệt

Ví dụ: Tìm $m$ để hàm số $y=x^3-3mx^2+3(m^2-1)x+m$ đạt cực tiểu tại $x=2$

Hướng dẫn giải:

Tập xác định $D=R$

Đạo hàm $y'=3x^2-6mx+3(m^2-1)$

Điều kiện đủ để hàm số đạt cức tiểu tại $x=2$ là:

$\left\{ \begin{array}{l} y'\left({2}\right)=0 \\ y''\left({2}\right)>0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} 3(4-4m+m^2-1)=0 \\ 6(2-m)<0 \\ \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} m^{2}-4m+3=0 \\ 2-m<0 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow$ $\left[\begin{array}{l} m=1 \\ m=3 \end{array} \right.$ và $m>2$

$\Leftrightarrow m=3$

Kết luận: $m=3$

Bài tập rèn luyện:

1. Cho hàm số $y=\frac{1}{3}x^3-mx^2+(m^2-m+1)x+1$ . Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số đạt cực đại tại điểm $x=1$ .

2.Cho hàm số $y=mx^4+(m^2-9)x^2+10$ . Tìm $m$ để hàm số có 3 cực trị.

3. Định $m$ để $y=x^3-3mx^2+(m^2-1)x-(m^2-1)$ đạt cực đại tại $x=1$

4. Cho hàm số $\frac{x^4}{2}-ax^2+b$ . Định $a,b$ để hàm số đạt cực trị bằng $-2$ tại $x=1$

5. Cho hàm số $y=x^3+(m-1)x^2-(m+3)x-1$ . CMR đồ thị hàm số luôn có cực đại và cực tiểu . Viết hương trình đường thẳng qua hai điểm cực tiểu của hàm số