Thứ Bảy, 4 tháng 8, 2012

Ôn tập học kỳ I môn Toán 11

ÔN TẬP HỌC KỲ 1

Môn: Toán. Lớp 11

A. Lý thuyết và kỹ năng cơ nản cần có.

Phần I: Đại số và giải tích

Chương I:

§1. Hàm số lượng giác

- Biết tìm tập xác định và vẽ được đồ thị hàm số ; $y=\sin x; y= \cos x ; y=\ tan x; y=\cot x$ .

- Biết cách tìm GTLN, GTNN của một biểu thức (hàm số) lượng giác.

§2-3. Phương trình lượng giác

- Giải được các phương trình cơ bản, dạng:

$\sin u\left( x \right) = m; \cos u\left( x \right) = m$ , $latex \tan u\left( x \right) = m, \cot u\left( x \right) = m$

và biết lấy nghiệm theo đơn vị độ, radian. Biết tìm nghiệm gần đúng bằng MTCT.

- Giải được các phương trình dạng:

$a.\sin u\left( x \right) + b.\cos u\left( x \right) = c$ ,

$a{t^2} + bt + c = 0$ , với $t = \sin u\left( x \right)$ , $t= \cos u\left( x \right)$ , $t=\ tan x; t=\cot x$ .

- Biết dùng công thức biến đổi (tích thành tổng, tổng thành tích) để biến đổi một phương trình đã cho.

Chương II:

§1-2. Quy tắc đếm. Hoán vị. Chỉnh hợp. Tổ hợp.

- Nhận biết và phân biệt được quy tắc cộng và quy tắc nhân (trong khi vận dụng).

- Hiểu và vận dụng được hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để làm bài tập.

§3. Nhị thứcNewton.

- Biết khai triển một nhị thức (theo công thức); tìm số hạng hoặc hệ số của số hạng trong khai triển một nhị thức; tính tổng các hệ số trong khai triện một nhị thức.

- Biết vận dụng khai triển nhị thức để chứng minh một đẳng thức (chứa công thức tổ hợp).

§4-5. Xác suất

- Biết liệt kê và tính được số phần tử của không gian mẫu; biết sử dụng tổ hợp, chỉnh hợp trong tính xác suất.

- Hiểu “biến cố” và tìm được kết quả thuận lợi của biến cố; phân biệt được biến cố đối, biến cố hợp, biến cố giao, biến cố xung khắc; hiểu và vận đụng được công thức cộng xác suất.

Nếu A, B là hai biến cố xung khắc cùng liên quan đến một phép thử thì

$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right)$

Nếu A, B là hai biến cố bất kỳ cùng liên quan đến một phép thử thì

$P\left( {A \cup B} \right) = P\left( A \right) + P\left( B \right) - P\left( {A \cap B} \right)$

- Hiểu “biến cố độc lập” ; vận đụng được công thức nhân xác suất.

Nhớ tính chất: A, B là hai biến cố độc lập $\Leftrightarrow P\left( {A \cap B} \right) = P\left( A \right).P\left( B \right)$

Chương III:

§1. Phương pháp quy nạp.

- Nắm vững các bước chứng minh quy nạp và vận dụng để chứng minh một đẳng thức, bất đẳng thức liên quan đến số tự nhiên.

§2-3. Cấp số cộng. Cấp số nhân.

- Nắm vững và nhận biết được một dãy là cấp số cộng, cấp số nhân.

Dãy $(u_n)$ là CSC có công sai $d \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = d$ (d là hằng số), với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ .

Dãy $(u_n)$ là CSN có công bội $q \Leftrightarrow {u_{n + 1}} = q.{u_n}$ (q là hằng số), với mọi số tự nhiên $n \ge 1$ .

- Tính được các yếu tố: công sai, công bội và số hạng thứ n của một CSC, CSN.

- Tính được tổng n số hạng đầu của một CSC, CSN.

Phần II: Hình học

Chương I: Phép biến hình trong mặt phẳng.

- Nắm được tính chất chung của các phép dời hình (phép tịnh tiến, phép quay) là: “không làm thay đổi khoảng cách giữa 2 điểm bất kỳ”.

- Nắm được biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến và vận dụng để tìm ảnh của điểm, đường thẳng, đường tròn.

- Biết vẽ ảnh của điểm, đường thẳng, đường tròn, đoạn thẳng qua phép quay với tâm và góc quay cho trước.

- Phân biệt được phép vị tự và phép đồng dạng. Biết xác định ảnh của một hình qua phép vị tự và phép đồng dạng.

Chương II: Quan hệ song song.

- Nắm được các trường hợp quan hệ giữa đường thẳng – đường thẳng, đường thẳng – mặt phẳng và các tính chất liên quan.

- Nắm được các tính chất (định lý, hệ quả) của hai đường thẳng song song; đường thẳng và mặt phẳng song song.

- Biết cách xác định giao tuyến của 2 mặt phẳng; giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng; xác định thiết diện cắt bởi mặt phẳng song song với 2 đường thẳng chéo nhau; chứng minh 2 đường thẳng song song; chứng minh đường thẳng song song với mặt phẳng.

B. Câu hỏi và bài tập

Phần I: Đại số và giải tích

Bài 1. Giải các phương trình lượng giác sau:
a) $\sin \left( {x + 25^\circ } \right) = - \dfrac{1}{2}$
b) $\cos \left( 2x-\dfrac{\pi }{12} \right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$ ;
c) $\tan \left( {x + 12^\circ } \right) = \cot \left( {24^\circ } \right)$ ;
d) $\sin \left( 3x-\dfrac{\pi }{5} \right)=\cos \dfrac{3\pi }{5}$
e) $2{{\sin }^{2}}x-3\sin x-2=0$ ;
f) $2+5\cos x-6{{\sin }^{2}}x=0$
g) $\sqrt{3}\sin x-\cos x=-1$
h) $\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x=2\sin x$ ;
i) $\tan x+\cot x-2=0$
j) ${{\cos }^{2}}\left( 3x-\dfrac{\pi }{4} \right)=\dfrac{3-\sqrt{5}}{8}$ .

Bài 2. Tìm tập xác định của các hàm số
a) $y=\tan \left( 2x-\dfrac{\pi }{3} \right)$
b) $y=\cot \left( 15{}^\circ -x \right)$
c) $y=\dfrac{\sin x}{\cos \left( 3x+\dfrac{\pi }{6} \right)}$
d) $y=\dfrac{1+\cos x}{1-2\sin \left( 3x \right)}$ .

Bài 3. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của các hàm số:
a) $y=2\sin x+3$
b) $y=2{{\cos }^{2}}x-5$
c) $y=\sqrt{3\sin x+5}-4$
d) $y={{\sin }^{2}}x-2\sin x-3$

Bài 4. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lập được mấy số tự nhiên có năm chữ số:

a) các chữ số tùy ý;

b) các chữ số khác nhau;

c) các chữ số khác nhau và chữ số hàng trăm là số chẵn;

d) bé hơn 54321 và các chữ số khác nhau.

Bài 5. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được mấy số tự nhiên có năm chữ số:

a) các chữ số tùy ý;

b) các chữ số khác nhau;

c) các chữ số khác nhau và chữ số hàng nghìn là số lẻ;

d) có 3 chữ số giống nhau và các chữ số còn lại khác nhau.

Bài 6. Có hai chuồng thỏ, chuồng I nhốt 4 thỏ cái và 5 thỏ đực, chuồng II nhốt 5 thỏ cái và 3 thỏ đực. Hỏi có mấy cách bắt một lần 4 con thỏ từ một trong hai chuồng đã cho sao cho mỗi lần bắt:

a) các con thỏ tùy ý (không phân biệt dực, cái);

b) chỉ có 2 con thỏ đực;

c) có ít nhất 2 con thỏ đực;

d) số thỏ cái nhiều hơn số thỏ đực.

Bài 7: Khai triển và rút gọn các biểu thức sau:

a) $P\left( x \right)={{\left( 2-x \right)}^{11}}$
b) $Q\left( x \right)={{\left( 2x+\dfrac{1}{2} \right)}^{9}}$

Bài 8: Tìm hệ số của số hạng chứa ${{x}^{6}}$ trong khai triển và rút gọn biểu thức $f\left( x \right)={{\left( \sqrt{2}x-3 \right)}^{15}}$ .

Bài 9: Tính tổng các hệ số của số hạng chứa ${{x}^{3}};{{x}^{5}};{{x}^{7}}$ trong khai triển và rút gọn biểu thức $g\left( x \right)={{\left( 3x+1 \right)}^{8}}$ .

C. Xác suất của biến cố

Bài 10: Xét phép thử: “Gieo ngẫu nhiên 3 đồng xu một lần”. Ký hiệu “S”, “N” để chỉ mặt xuất hiện là mặt có hình và có số (theo thứ tự đó).

a) Xác định không gian mẫu (liệt kê các phần tử);

b) Tính xác suất của các biến cố:

A: “Có 2 lần đồng xu xuất hiện mặt sấp”;

B: “Có ít nhất một lần đồng xu xuất hiện mặt sấp”;

C: “Lần thứ nhất đồng xu xuất hiện mặt sấp”

D: “Lần thứ ba đồng xu xuất hiện mặt sấp”

c) A, B có phải là biến cố xung khắc không ? Vì sao ?

d) Chứng tỏ C, D là hai biến cố độc lập.

Bài 11: Một hộp có chứa 3 viên bi xanh, 5 viên bi đỏ và 4 viên bi vàng. Xét phép thử: “Lấy ngẫu nhiên một lần 3 viên bi từ hộp”.

a) Tính số phần tử của không gian mẫu;

b) Tính xác suất của các biến cố sau:

A: “3 viên bi lấy ra cùng màu”;

B: “Trong 3 viên bi lấy ra, có 1 viên bi vàng”;

C: “Trong 3 viên bi lấy ra, có ít nhất 1 viên bi vàng”;

D: “Trong 3 viên bi lấy ra, ít nhất 1 viên bi vàng và 1 viên bi đỏ”.

Phần II: Hình học

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm $M(1;2)$ , vectơ $\overrightarrow u = \left( { - 3;4} \right)$ , điểm $I(-1;3)$ .

a) Xác định ảnh của điểm M qua phép vị tự ${V_{\left( {I; - \dfrac{1}{3}} \right)}}$ .

b) Biết đường thẳng d có ảnh qua phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ là đường thẳng $d':3x - 2x + 1 = 0$ . Viết phương trình của d.

c) Gọi $\Im$ là phép đồng dạng có được bằng cách thức hiện liên tiếp phép vị tự ${V_{\left( {I;2} \right)}}$ và phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow u }}$ (tiếp theo). Hãy xác định tọa độ ảnh của M qua phép đồng dạng $\Im$ .

Bài 2. Cho tam giác đều ABC, gọi M, N, P theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CA. Xét phép dời hình $\wp$ có được bằng cách thực hiện phép tịnh tiến ${T_{\overrightarrow{MA}}}$ rồi đến phép quay ${Q_{\left( {M, - \dfrac{\pi }{3}} \right)}}$ . Hãy xác định và vẽ ảnh của tam giác BMN qua phép dời hình $\wp$ .

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thang có đáy lớn AD.

a) Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau:

(SAB) và (SCD); (SAC) và (SBD); (SAD) và (SBC).

b) Lấy điểm M trên cạnh SB. Xác định giao điểm của đường thẳng SA với mặt phẳng (MCD).

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (NAB) và (MCD).

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC.

a) Xác định giao điểm Q của đường thẳng SD với mặt phẳng (MNP).

b) Chứng minh tứ giác MNPQ là hình bình hành.

Bài 5. Cho tứ diện ABCD có mặt ABD là tam giác đều cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của cạnhBC và AB. $(\alpha)$ là mặt phẳng qua M và song song với BD và DN. Xác định thiết diện của tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ . Tính theo a diện tích thiết diện thu được.