Thứ Bảy, 11 tháng 8, 2012

Chuyên đề: Tìm GTLN,GTNN của hàm số

Tìm GTLN,GTNN của hàm số

A. Tìm giá trị lớn nhất,nhỏ nhất của hàm số

Bài toán 1: Tìm giá trị lớn nhất , nhỏ nhất của hàm số trên miền các định hay một khoảng.

Phương pháp:

Tìm tập xác định
Tính $y'$
Giải phương trình $y'=0$ (các điểm tới hạn ) và tính giá trị tại các điểm tới hạn .
Lập bảng biến thiên , căn cứ bảng biến thiên $\Rightarrow$ GTLN,GTNN.

Bài toán 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số trên một đoạn $[a,b]$ ?

Phương pháp:

Tính $y'$
Giải phương trình $y'=0$ , để tìm các nghiệm ${x_1;x_2;...;x_n}\in[a;b]$
Tính các giá trị $f(x_1),f(x_2),...,f(x_n)$ và $f(a),f(b)$
GTLN là số lớn nhất trong các giá trị vừa tìm
GTNN là số bé nhất trong các giá trị vừa tìm.

Ví dụ:

a) Tìm giá trị lớn nhất , giá tẹi nhỏ nhất của hàm số: $y=\sqrt {2x-x^2}$
b) Tìm giá trị lớn nhất , giá tẹi nhỏ nhất của hàm số: $y=\frac{x^2+x+1}{x}$ trên đoạn $\left[{\frac{1}{2};2}\right]$

Hướng dẩn giải:

Tập xác định : D=[0;2]
$y'=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}$
$y'=0$ $\Leftrightarrow$ $x=1$ $\Rightarrow$ $y=1$
Bảng biến thiên:( các em tự lập)
Kết luận:

$\max \mathop {f(x)}\limits_{\left[ {0,2} \right]}=f(1)=1$

$\min \mathop {f(x)}\limits_{\left[ {0,2} \right]}=f(0)=0$

$y'=\frac{x^2-1}{x^2}$
$y'=0$ $\Leftrightarrow$ $x^2-1=0$ $\Leftrightarrow$ $\left[\begin{array}{l} x=1\in\left[\frac{1}{2};2\right] \\ x=-1\notin\left[\frac{1}{2};2\right] \end{array}\right.$
Ta có $y(\frac{1}{2})=\frac{7}{2}$ , $y(1)=3$ , $y(2)=\frac{7}{2}$
Kết luận:

$\mathop{\min}\limits_{[\frac{1}{2};2]}f(x)=f(2)=f(\frac{1}{2})=\frac{7}{2}$

$\mathop{\max}\limits_{\left[{\frac{1}{2};2}\right]} f(x)=f(1)=3$

Bài tập rèn luyện:

Bài 1: Tìm GTLN,GTNN của hàm số

a) $f(x)=x^3-8x^2+16x-9$ trên đoạn $[1;3]$ .

b) $f(x)=x^3-3x+1$ trên đoạn $[0;2]$ .

c) $f(x)=-2x^4+4x^2+3$ trên đoạn $[0;2]$ .

Bài 2: Tìm GTLN,GTNN của hàm số

a) $y=f(x)=2sinx-\frac{4}{3}\sin ^2 x$ trên đoạn $[0;\pi]$ .

b) $y=f(x)=x^2.e^x$ trên đoạn $[-3;2]$ .

c) $y=f(x)=sin^3x-cos2x-sinx+2$

d) $y=f(x)=sin2x-x$ trên đoạn $\left[ {-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]$ .

Bài 3: Tìm GTLN,GTNN của hàm số

a) $y=f(x)=(x+2)\sqrt{4-x^2}$

b) $y=f(x)=(3-x)\sqrt{x^2+1}$

c) $y=f(x)=x-5+\sqrt{4-x^2}$

B. Tìm điều kiện để hàm số y = f(x,m) có GTLN (GTNN) trên đoạn [a; b] là một số cho trước

Phương pháp giải:

Giả sử bài toán yêu cầu: Tìm giá trị của tham số $m$ để hàm số $y=f(x,m)$ có giá trị lớn nhất (giá trị nhỏ nhất ) trên đoạn $[a;b]$ là $M$ (là m), ta có thể tiến hành theo một tring các cách sau.

Chú ý: Hàm số $y=f(x,m)$ liên tục trên $[a;b]$

Cách 1:

Tính đạo hàm $f'(x,m)$
Gải phương trình $f'(x,m)=0$ để tìm các nghiệm ${x_1;x_2;...;x_n}\in[a;b]$
Tính các giá trị $f(x_1),f(x_2),...,f(x_n)$ và $f(a),f(b)$
Từ các kết quả trên, xác định GTLN (GTNN) của hàm số , giả sử là $f(x_i)$
Giải phương trình $f(x_i)=0$ để tìm nghiệm $m$
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.

Cách 2:

Xác định điều kiện để bất phương trình : $f(x)\le M$ được thỏa mãn $\forall x \in [a;b]$
Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của $m$ thỏa điều kiện vừa nêu
Xác định điều kiện để phương trình: $f(x, m) = 0$ có nghiệm $x\in [a; b]$
Giải điều kiện vừa tìm để xác định các giá trị của $m$ thỏa điều kiện
So sánh các giá trị của m tìm được ở các bước 2 và 3 để chọn ra giá trị m thỏa bài toán
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.

Cách 3:

Tính đạo hàm $f'(x,m)$
Giải phương trình $f'(x, m)=0$ để tìm các nghiệm ${x_1;x_2;...;x_n}\in[a;b]$
Tính các giá trị $f(x_1),f(x_2),...,f(x_n)$ và $f(a),f(b)$
Lần lượt giải các phương trình: $f(x_1)=M , f(x_2)=M, ... , f(x_n)=M,f(a)=M,f(b)=M$ để tìm các nghiệm $m_0$ của chúng
Thay $m=m_0$ vào hàm số và kiểm tra trực tiếp xem giá trị $m_0$ thực sự thỏa bài toán để nhận hoặc loại giá trị $m_0$
Nêu kết luận cho bài toán để hoàn tất bài toán.