Thứ Năm, 9 tháng 8, 2012

Tạo thói quen khai thác giải thiết bài toán

Từ bài toán giải hệ phương trình trong đề thi Đại Học khối A năm 2010, tác giả bài viết Trần Quốc Luật sinh viên lớp 50A Đại Học Vinh đã “mổ xẻ” đề bài để từ đó khai thác triệt để đặc điểm của từng phương trình trong hệ cho ra những cách giải hay và độc đáo

Trong đề thi Đại Học Khối A 2010 có bài toán “phân loại” như sau:

Bài toán: Giải hệ phương trình:

Trước hết, ta đặt điều kiện $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ .

Rõ ràng đây là một hệ phương trình không mẫu mực.

Ta hãy xem xét từng phương trình của hệ.

Nhận thấy phương trình (1) có 2 ẩn “phân ly ” “rời nhau” (có thể “cô lập” mỗi ẩn sang một vế của phương trình) đồng thời chứa một biểu thức trong dấu căn (hơn nữa bậc của x và $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ bằng nhau và bằng 3).

Ta khai thác triệt để những điều này như sau. Trước hết cô lập mỗi ẩn về mỗi vế ta được $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Đặt $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ ,

ta có $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$
Đến đây ta đã phát hiện ra hàm đặc trưng $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$
Rỗ ràng $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

nên hàm này đồng biến do đó t = 2x hay $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$
Với bản chất như vậy, ngoài cách trình bày trên ta còn có thể trình bày bước này như sau:

Cách 1.1 : Đặt $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ , ta có ngay (1) trở thành $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Suy ra $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Cách 1.2: Ta có :

$laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Vấn đề đã được giải quyết một nửa, ta sẽ xử lý phương trình (2) với điều kiện (3)

Cách 2.1: Thay (3) vào (2) ta có

$laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Cách 2.2: Nhận thấy x = 0 và $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ đều không phải là nghiệm nên $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ . Thay $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ vào phương trình thứ 2 ta được $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Trong khoảng $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ hàm số:

$laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ nghịch biến

Thật vậy, ta có

$laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Mặt khác ta lại có $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ . Vì vậy phương trình g(x) = 7 chỉ có một nghiệm duy nhất $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Cách 2.3: Viết lại (4 ) dưới dạng f(x) = g(x) với $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ và $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ . Khảo sát riêng lẻ f(x); g(x) thấy trên khoảng $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ hàm f(x) nghịch biến , g(x) đồng biến nên (4) có nghiệm duy nhất

Cách 2.4: Đặt $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Ta có:

$laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Nếu $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ thì từ (3) ta có y < 2. Do vậy $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ . Hệ (*) vô nghiệm

Nếu $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ thì y = 2, thỏa mãn

Nếu $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ thì từ (3) ta có y > 2. Do vậy $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ . Hệ (*) vô nghiệm

Cách 2.5: Thay $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ vào (2) ta được :

$laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Đặt a = y – 1 thì ta được $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Đặt $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

ta có $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Cách trình bày 1:

+) Nếu a > 1 thì b < 1 nên c > 1, do vậy a < 1, vô lý

+) Nếu a= 1 thì b = c = 1, thỏa mãn. Thay vào ta có nghiệm của hệ (*) là $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Cách trình bày 2:

Không mất tính tổng quát, giả sử $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$

Từ $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ có $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ . Tương tự $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ . Do vậy $laTeX, goEdu - Kiến thức 1 người từ muôn người$ . Đẳng thức xảy ra khi a = b= 1. Từ đó a = b = c= 1.