Thứ Bảy, 11 tháng 8, 2012

Chuyên đề: Nguyên hàm-Tích phân

CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Phương pháp đổi biến số:

Bài toán : Tính $I=\int\limits_a^b {f(x)dx}$

Nếu

Hàm $x=u(t)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $\left[{\alpha;\beta}\right]$
Hàm hợp $f(u(t))$ được xác định trên $\left[{\alpha;\beta}\right]$ .
$u(\alpha)=a$ , $u(\beta)=b$

thì $I=\int\limits_a^{b}f(x)dx=\int\limits_{\alpha}^{\beta}{f(u(t))u'(t)dt}$

Ví dụ: Tính tích phân sau:a) $I=\int\limits_0^1{x^2\sqrt{x^3+5}dx}$

b) $J=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left({\sin^4 x+1}\right)\cos x}dx$

Hướng dẫn giải:

Đặt $t=x^3+5$ $\Rightarrow$ $dt=3x^2dx$

$\Leftrightarrow$ $\frac{1}{3}dt=x^2dx$

Đổi cận:

$x=0$ $\Rightarrow$ $t=5$

$x=1$ $\Rightarrow$ $t=6$

$I=\int\limits_0^1{x^2\sqrt{x^3+5}dx}$ = $\frac{1}{3}\int\limits_5^6(t)^{\frac{1}{2}}$ = $\frac{1}{3}\frac{(t)^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\left| \begin{array}{l} 6 \\ 5 \end{array}\right.$ = $\frac{2}{9}t\sqrt{t}\left| \begin{array}{l} 6 \\ 5 \end{array}\right.$ = $\frac{4}{3}\sqrt{6}-\frac{10}{9}\sqrt{5}$

Đặt $t=sinx$ $\Rightarrow$ $dt=cosxdx$
Đổi cận:

$x=0$ $t=0$

$x=\frac{\pi}{2}$ $t=1$

$I=\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}(t^4+1)dt$ = ${\frac{1}{5}t^{5}+t}\left| \begin{array}{l} 1 \\ 0 \end{array} \right.$ = $\frac{6}{5}$

Ví dụ 2: Tính các tích phân sau:
a) $\int\limits_0^4{\sqrt{4-x^2}}dx$

b) $\int\limits_0^1\frac{dx}{1+x^2}$

Hướng dẫn giải: a)

Đặt $x=2sint$ , $t\in\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$
$\Rightarrow$ $dx=2costdt$
Đổi cận:

$x=0$ $\Rightarrow$ $t=0$

$x=4$ $\Rightarrow$ $t=\frac{\pi}{2}$
$\int\limits_0^4{\sqrt{4-x^2}}dx$ = $\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\sqrt{4-4sin^{2}t}}.2costdt$ = $4\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}}{\cos^{2}tdt}=\pi$

Đặt $x=tant$ $t\in\left({-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}}\right)$

Ta có $x=tant$ $\Rightarrow$ $dx=\frac{dt}{\cos^{2}t}$

$\Rightarrow$ $\int\limits_0^1{\frac{dx}{1+x^2}}$ $=\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}{\frac{1}{{1+tan^{2}t}}}.\frac{{dt}}{{\cos^{2}t}}$

$=\int\limits_0^{\frac{\pi}{4}}{dt}$ = $t\left| \begin{array}{l} \frac{\pi}{4} \\ 0 \end{array} \right.$ = $\frac{\pi }{4}$ .
Chú ý:

Trong thực tế chúng ta thường gặp những dạng tích phân trên dưới dạng tổng quát.

Nếu hàm số dưới dấu tích phân có chứa căn dạng $\sqrt{a^2+x^2},\sqrt{a^2-x^2}$ và $\sqrt {x^2-a^2}$
(Trong đó a là hằng số dương) mà không có cách biến đổi nào khác thì ta biến đỏi sang dạng lượng giác để làm mất căn thức , Cụ thể :

Với: $\sqrt {a^2-x^2}$ đặt $x=a\sin t,t\in\left[{-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}}\right]$

hoặc $x=acost$ , $t \in \left[{0;\pi}\right]$

Với $\sqrt{a^2+x^2}$ đặt $x=atant,t\in\left({-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}}\right)$

hoặc $x=acott,t\in\left({0;\pi}\right)$

Với $\sqrt {x^2-a^2}$ đặt $x=\frac{a}{\sin t},t\in\left[{-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}}\right]\backslash\left\{0\right\}$

hoặc $x=\frac{a}{{\cos t}}$ ; $t\in\left[{0;\pi}\right]\backslash\left\{{\frac{\pi}{2}}\right\}$

Bài tập vận dụng:

Tính các tích phân sau:

a) $\int\limits_0^1 {\left( {2x+1} \right)^5dx}$ b) $\int\limits_e^{e^2} {\frac{dx}{xln x}}$

c) $\int\limits_1^2{\frac{{dx}}{{(2x-1)^2}}}$ d) $\int\limits_0^1{\frac{4x+2}{x^2+x+1}}dx$

d) $\int\limits_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{{2\pi }}{3}}{\cos (3x-\frac{{2\pi }}{3})dx}$

Đáp án: a) $60\frac{2}{3}$ ; b) $ln2$ ;c) $\frac{1}{3}$ ; d) $3ln2$ ;e) $-\frac{\sqrt{3}}{3}$

Phương pháp tích phân từng phần

Nếu $u(x)$ và $v(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[a;b]$ thì:

$\int\limits_a^b{u(x)v'(x)dx}$ = $(u(x)v(x))\left| \begin{array}{l} b \\ a \end{array} \right.$ - $\int\limits_a^b{v(x)u'(x)dx}$
hay $\int\limits_a^b{udv}=uv\left| \begin{array}{l} b \\ a \end{array}\right.-\int\limits_a^b{vdu}$

Ví dụ: Tính các tích phân sau:

$\int\limits_1^e {x\ln xdx}$

Hướng dẫn :

Đặt : $\left\{\begin{array}{l} u=lnx \\ dv=xdx \end{array} \right.$

$\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} du=\frac{dx}{x} \\ v=\frac{x^2}{2} \end{array} \right.$

$\int\limits_{1}^{e}xlnxdx$ = $\frac{x^2}{2}lnx\left|\begin{array}{l} e \\ 1 \end{array}\right.$ - $\frac{1}{2}\int\limits_{1}^{e}xdx$

= $\frac{e^2}{2}$ - $\frac{x^2}{4}\left|\begin{array}{l} e \\ 1 \end{array}\right.$ = $\frac{e^2+1}{4}$

Chú ý : Có ba dạng tích phân thường áp dụng tích phân từng phần.

Nếu tính tích phân $\int\limits_{\alpha}^{\beta}P(x)Q(x)dx$ mà $P(x)$ là các đa thức còn $Q(x)$ là một trong các hàm số $e^{ax},cosax,sinax$

Đặt : $\left\{\begin{array}{l} u=P(x) \\ dv=Q(x)dx \end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} du=P'(x)dx \\ v=\int{Q(x)dx}\end{array} \right.$

Nếu tính tích phân $\int\limits_{\alpha}^{\beta}P(x)Q(x)dx$ mà $P(x)$ là các đa thức còn $Q(x)$ là hàm số $ln(ax)$

Đặt : $\left\{\begin{array}{l} u=Q(x) \\ dv=P(x)dx \end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} du=Q'(x)dx \\ v=\int{P(x)dx}\end{array} \right.$

Nếu tính tích phân $I=\int\limits_{\alpha}^{\beta}e^{ax}cosbxdx$ hoặc $J=\int\limits_{\alpha}^{\beta}e^{ax}sinbxdx$

Đặt : $\left\{\begin{array}{l} u=e^{ax} \\ dv=cosbxdx \end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} du=ae^{ax}dx \\ v=\frac{1}{b}sinbx \end{array} \right.$

Hoặc đặt : $\left\{\begin{array}{l} u=e^{ax} \\ sinbxdx \end{array} \right.$ $\Rightarrow$ $\left\{\begin{array}{l} du=ae^{ax}dx \\ v=-\frac{1}{b}cosbx \end{array} \right.$