Số phức [Lần 2]

Bài 1. Tính: $$\dfrac{i^5+i^7+i^9+...+i^{2009}}{i^4+i^5+i^6+...+i^{2010}}$$

$${i^5+i^7+i^9+...+i^{2009}=\dfrac{i^5.(1-i^{2006})}{1-i^2}}=-i$$
$${i^4+i^5+i^6+...+i^{2010}=\dfrac{i^4.(1-i^{2007})}{1-i}}=\dfrac{1+i}{1-i}$$
$$\Rightarrow \dfrac{i^5+i^7+i^9+...+i^{2009}}{i^4+i^5+i^6+...+i^{2010}}=-1$$

Bài 2. Tìm số phức $z$ thỏa mãn: $|z+1-i| = |\overline{z}+2+2i|$ và $\dfrac{z-1}{\overline{z}+1}$ là số thuần ảo.

Gọi $z=x+iy$.
Theo đề ra ta có hệ sau:
$$\begin{cases} x-y+3=0 \\ x^2-y^2=1 \end{cases}$$
Giải ra ta được: $(x, y)=( -\dfrac{5}{3},\ \dfrac{4}{3})$

Bài 3. Tính căn bậc hai của số phức :$$\ z =\frac{{\left(3-i \right)}^{2}}{1+i}.$$

Viết $z=1-7i=u^2=\left(\dfrac{u(u+\overline{u})}{u+\overline{u}}\right)^2=\dfrac{(u^2+|u|^2)^2}{u^2+2|u|^2+ \overline{u^2}}=\dfrac{(1+5\sqrt{2}-7i)^2}{2+10\sqrt{2}}$.

Nên $z$ có hai căn bậc 2 là $\dfrac{1+5\sqrt{2}-7i}{\sqrt{2+10\sqrt{2}}}$ và $\dfrac{7i-5\sqrt{2}-1}{\sqrt{2+10\sqrt{2}}}$.

Nhận xét: Ta có thể viết $2z=(3-i)^2(1-i)$ và tìm căn bậc hai của $1-i$.

Bài 4. Giải phương trình sau trên tập số phức: $${{z}^{3}}+3{{\left| z \right|}^{2}}-2+i\left( {{z}^{2}}+2z+3\overline{z} \right)=0$$

Ta có: $\ |z|^2=z.\bar{z}$
Ta phân tích phương trình như sau: $$z^3+3z.\bar{z}+2i^2+iz^2+1iz+3i\bar{z}=0 \Leftrightarrow  z^2(z+i)+2i(z+i)+3\bar{z}(z+i)=0 $$ $$\Leftrightarrow  (z+i)(z^2+3\bar{z}+2i)=0$$ [list][*] Với: $\ z+i=0 \Leftrightarrow  z=-i$
[*] Với: $$\ z^2+3\bar{z}+2i=0$$ Đặt: $\ z=a+bi \,\ (a,b \in R)$, thay vào phương trình rồi nhóm lại ta được: $$a^2-b^2+3a+(2ab-3b+2)i=0 \Leftrightarrow  \begin{cases} a^2-b^2+3a=0 \\\ 2ab-3b+2=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (a-1)(a+4)=(b-2)(b+2) \\\ 2b(a-1)=b-2 \end{cases}$$ Nhân chéo 2 vế ta có: $$(a-1)(b-2) (a+4-2b^2-4b)=0$$ Ta suy ra 1 cặp nghiệm là: $\ a=1; b=2$, số phức là: $\ z=1+2i$

Bài 5. Cho số phức là một nghiệm nguyên của phương trình:$Z^2+Z+1=0$Rút gọn biểu thức:$$P= (Z+\frac{1}{Z})^2+(Z^2+\frac{1}{Z^2})^2+(Z^3+\frac{1}{Z^3})^2+(Z^4+ \frac{1}{Z^4})^2$$

Do $Z=0$ không thỏa mãn phương trình $Z^2+Z+1=0$ nên ta có thể chia hai vế của phương trình này cho $Z$ và được $Z+ \frac{1}{Z}=-1$.

Đến đây thì từ việc biểu diễn các đại lượng $$Z^2+\frac{1}{Z^2},  Z^3+\frac{1}{Z^3}, Z^4+\frac{1}{Z^4}$$ theo biểu thức cho sẵn giá trị là $Z+ \frac{1}{Z}=-1$, ta có thể giải quyết bài toán.