Hệ phương trình [ lần 2 ]

Giải hệ phương trình: \begin{cases} 2x^2-8xy^2-xy+4y^3=0 \\16x^3+2x-8y^2+5=0 \end{cases}

Ta có:
      $\left\{ \begin{array}{l} 2x^2-8xy^2-xy+4y^3=0\\ 16x^3+2x-8y^2+5=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (x-4y^2)(2x-y)=0\\16x^3+2x-8y^2+5=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=4y^2\\ 1024x^6+8y^2-8y^2+5=0 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} 2x=y\\ 2y^3+y-8y^2+5=0 \end{array} \right. \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{2}\\ y=1 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{4}(3-\sqrt{19})\\ y=\frac{1}{2}(3-\sqrt{19}) \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l} x=\frac{1}{4}(3+\sqrt{19})\\ y=\frac{1}{2}(3+\sqrt{19}) \end{array} \right. \end{array} \right.$

Giải hệ phương trình: \begin{cases} x+y=2 \\ 4x^2+y^2=5\left(2x-y\right)\sqrt{xy} \end{cases}

Điều kiện: $xy\geq 0$. Lưu ý rằng $x+y=2$ nên $x,y\geq 0$.
Ta có:
\[4x^2+y^2=5(2x-y)\sqrt{xy}\]
\[ \Leftrightarrow 4x^2-4xy+y^2-5(2x-y)\sqrt{xy}+4xy=0\]
\[ \Leftrightarrow (2x-y)^2-5(2x-y)\sqrt{xy}+4\left( \sqrt{xy} \right)^2=0\]
\[ \Leftrightarrow \left( 2x-\sqrt{xy}-y\right) \left( 2x-4\sqrt{xy}-y\right) =0\]
\[ \Leftrightarrow \left( 2\sqrt{x}+\sqrt{y}\right) \left( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right) \left( \sqrt{2x}-(\sqrt{2}-\sqrt{3})\sqrt{y} \right) \left( \sqrt{2x} -(\sqrt{2}+\sqrt{3})\sqrt{y}\right) =0\]
Vì $x,y\geq 0$ và $x+y=2$ nên ta suy ra $x=y$ hoặc $2x=(5+2\sqrt{6})y$.
Nếu $x=y$ thì ta được nghiệm $(1,1)$.
Nếu $2x=(5+2\sqrt{6})y$ thì ta được nghiệm $\left( \frac{22+8\sqrt{6}}{25},\frac{28-8\sqrt{6}}{25}\right)$.
Thử lại, đây là $2$ nghiệm của hệ ban đầu.

giải hệ phương trình $\begin{cases}x^3-xy^2+2000y=0 \\ y^3-yx^2-500x=0  \end{cases}$

Nhận thấy $x=0 \implies y=0$ và ngược lại. Như vậy $(x;y)=(0;0)$ là một nghiệm.
Xét $x,y \ne 0$  thì từ hệ ta có
$\begin{cases}\frac{x^3-xy^2}{y}=-2000 \\ \frac{y^3-x^2y}{x}=500 \end{cases}\Rightarrow \frac{x^3-xy^2}{y}+4\frac{y^3-x^2y}{x}=0$
$\Rightarrow x^4-5x^2y^2+4y^4=0\Rightarrow (x^2-y^2)(x^2-4y^2)=0$
Đến đay thay vào hệ ban đầu thu được
$(x,y) \in \left\{ {(0,0); \left ( -20\sqrt{\frac{10}{3}};10\sqrt{\frac{10}{3}} \right );\left ( 20\sqrt{\frac{10}{3}};-10\sqrt{\frac{10}{3}} \right )} \right\}$