Phương trình Logarit [Lần 7]

Bài 1. Giải phương trình: $2log_{3}(x^2-4)+3\sqrt{log_{3}(x+2)^2} -log_{3}(x-2)^2=4$

ĐK: $x\leq -3$ hoặc $x>2$.

PT$\Leftrightarrow \log _{3}(x+2)^2+3\sqrt{\log _{3}(x+2)^2}-4=0$

Đặt: $t=\sqrt{\log _{3}(x+2)^2}$ với $t\geq 0$

Ta  được:
PT $\Leftrightarrow t^2+3t-4=0\Rightarrow t_1=1(TM);t_2=-4(L)$

Với : $t=t_1=1$ ta có: $\log _{3}(x+2)^2=1\Leftrightarrow |x+2|=\sqrt{3}\Rightarrow x=-2-\sqrt{3}$

Bài 2. $log{}_{5}$$(3+\sqrt{{3}^{x}+1})=log{}_{4}({3}^{x}+1)$

Đặt $log{}_{5}$$(3+\sqrt{{3}^{x}+1})=log{}_{4}({3}^{x}+1)=t$ ta có: $$3+\sqrt{3^x+1}=5^t (1)\\3^x+1=4^t (2)$$
Thay (2) vào (1) ta được: $$3+2^t=5^t \Leftrightarrow 3.(\dfrac{1}{5})^t+(\dfrac{2}{5})^t=1$$
Hàm số $f(t)=3.(\dfrac{1}{5})^t+(\dfrac{2}{5})^t$ nghịch biến và $f(1)=1$.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $t=1$. Suy ra $x=1$.

Bài 3. $\frac{1}{3}{log}_{\sqrt[3]{3}}(x+1)+\frac{1}{503}{log}_{81}{(x-3)}^{2012}=5{log}_{243}[4(x-2)]$

•Điều kiện:$x > 3$
•phương trình đã cho tương đương:
$${log}_{3}(x+1)+{log}_{3}{(x-3)}=log_{3}{4(x-2)}$$
$$\Leftrightarrow (x+1)(x-3)=4(x-2)$$

Bài 4. ${4}^{-\left|x-1 \right|}{log}_{\sqrt{3}}({x}^{2}-2x+3)+{2}^{-{x}^{2}+2x}{log}_{\frac{1}{3}}(2\left|x-1 \right|+2)=0$

Phương trình đã cho tương đương với:
$${2^{{x^2} - 2x}}{\log _{\sqrt 3 }}\left( {{x^2} - 2x + 3} \right) + {4^{\left| {x - 1} \right|}}{\log _{\frac{1}{3}}}\left( {2\left| {x - 1} \right| + 2} \right) = 0$$
$$ \Leftrightarrow {2^{{x^2} - 2x + 1}}{\log _3}\left[ {\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) + 2} \right] = {2^{2\left| {x - 1} \right|}}{\log _3}\left( {2\left| {x - 1} \right| + 2} \right)$$
Xét hàm số đặc trưng: $f\left( t \right) = {2^t}{\log _3}\left( {t + 2} \right)$. Dễ thấy hàm này tăng nên từ phương trình trên, ta có ngay:
$$f\left( {{x^2} - 2x + 1} \right) = f\left( {2\left| {x - 1} \right|} \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 2\left| {x - 1} \right|$$

Bài 5. Giải phương trình: \[\log _{2}^{3}x=3\sqrt[3]{2+3{{\log }_{2}}x}+2\]

Đặt: $a= \log _{2} x$.
Pt được viết lại thành:
$$a^3=3\sqrt[3]{3a+2}+2.$$
$$\Leftrightarrow a^3+3a=3a+2+3\sqrt[3]{3a+2}.$$
Xét hàm : $f(t)=t^3+3t, t \in R$.
Có:$f'(t)=3t^2+3>0 \Rightarrow f(t)$ đồng biến trên $R$.
Suy ra:
$$a= \sqrt[3]{3a+2}.$$