Hệ số công suất [Lần 1]

Bài 1. Mạch điện xoay chiều RLC mắc nối tiếp đang có tính dung kháng, khi tăng tần số của dòng điện xoay chiều và giữ nguyên các thông số khác thì hệ số công suất của mạch.

A. Tăng đến giá trị cực đại rồi giảm

B. Không thay đổi

C. Giảm

D. Tăng

Hệ số công suất của mạch $$k=\cos \varphi =\frac{R}{Z}=\frac{R}{U}.\frac{U}{Z}=\frac{R}{U}.I$$ Vì $R$ và $U$ không đổi, nên ta chỉ quan tâm đến $I$.
Bây giờ chú ý đến đồ thị cộng hưởng của mạch $RLC$. Vì mạch có tính dung kháng nên $${{Z}_{C}}>{{Z}_{L}}\Leftrightarrow \frac{1}{\omega C}>\omega L\Leftrightarrow {\omega }<\frac{1}{\sqrt{LC}}.$$ Khi ta tăng tần số của dòng điện xoay chiều thì $\omega$ cũng tăng. Khi đạt đến giá trị $\omega ={{\omega }_{0}}=\dfrac{1}{\sqrt{LC}}$ thì có cộng hưởng điện, tức là cường độ dòng điện hiệu dụng đạt giá trị cực đại. Từ đó suy ra rằng khi tăng $\omega$ đến $\omega_0$ thì cường độ dòng điện hiệu dụng tăng đến giá trị cực đại, suy ra $k$ tăng đến giá trị cực đại.
Tiếp tục tăng tần số dòng điện thì ta có $\omega >\dfrac{1}{\sqrt{LC}}={{\omega }_{0}}$, tức là cường độ dòng điện hiệu dụng sẽ giảm dần từ giá trị cực đại đến một giá trị nào đó (tùy thuộc ta tăng tần số nhiều hay ít), suy ra $k$ sẽ giảm.
Vậy chọn $A. \ \blacksquare$

Bài 2. Đặt điện áp $u={U}_{o}cos\omega t \ ({U}_{o},\omega =constant)$ vào hai đầu đoạn mạch $R,L,C$ nối tiếp. Biết điện dung của tụ điện có thể thay đổi. Điều chỉnh trị số của điện dung để điện áp hiệu dụng ở hai đầu cuộn dây đạt cực đại, khi đó hệ số công suất của mạch bằng:A. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$B. $1,0$C. $0,85$D. $0,5$

$U_{\text{cuộn dây}} = I.\sqrt{    r^2 + Z_L^2} = U.\sqrt{\frac{ r^2+Z_L^2}{ ( R+r )  ^2+(Z_L-Z_C)^2}}\implies \overbrace{ U_{\text{cuộn dây}}-max }^{Z_L=Z_C   \implies  Z= R+r } \implies cos\varphi= \dfrac{R+r}{Z}=1$

Bài 3. Đặt điện áp $u=U_0coswt(V)$ ($U_0$ không đổi) vào hai đầu đoạn mạch $AB$ gồm hai đoạn mạch $AM$ và $MB$ mắc nối tiếp. Đoạn $AM$ chứa điện trở $R_1$ mắc nối tiếp với cuộn cảm thuần, đoạn $MB$ chứa điện trở $R_2$ mắc nối tiếp với tụ điện, lúc này cường độ dòng điện hiệu dụng qua đoạn mach $AB$ là$I_1$. Nếu nối tắt tự điện thì cường độ dòng điện hiệu dụng qua đoạn mạch $AB$ là $I_2=2I_1$. Biết giá trị tức thời của hai cường độ dòng điện trên lệch pha nhau $\frac{\pi}{2}$. Hệ số công suất của đoạn mạch $AB$ khi chưa nối tắt tụ điện là:$A.0,2\sqrt{5}$$B.0,25\sqrt{5}$$C.0,4\sqrt{5}$$D.0,5$

$\begin{cases}i_1 \perp   i_2  \implies tan \varphi_1 tan \varphi_2=-1\\ \overbrace{I_2=2I_1}^{Z_2=2Z_1} \implies \overbrace{(R_1+R_2)^2+Z_L^2=4(R_1+R_2)^2+4(Z_L-Z_C)^2}^{ tan \varphi_1=\dfrac{Z_L-Z_C}{R_1+R_2}; tan \varphi_2=\dfrac{Z_L}{R_1+R_2} }\end{cases}\implies \boxed{tan \varphi_1 =0,25 \sqrt{5}} $

Bài 4.Cho mạch điện xoay chiều gồm $R,L,C$ mắc nối tiếp. Tần số của hiệu điện thế thay đổi được. Khi tần số là $f_1$ và $4f_1$ công suất trong mạch như nhau và bằng $80$ phần trăm công suất cực đại mà mạch có thể đạt được. Khi $f=3.f_1$ thì hệ số công suất là:   A. $0,8$                                                                B. $0,986$C. $0,6$                          D. $0,47$

$$ P = UI \cos \varphi = \frac{U^2R}{Z^2} $$
Tương tự bài trong ví dụ trên ta có: $$  Z_{C_1} = Z_{L_2} = 4Z_{L_1}$$ Công suất tiêu thụ cực đại là: $$P = \frac{U^2}{R}$$ Theo đề bài thì ta có:
$$\frac{U^2 . R}{R^2 + 9Z_{L_1}^2} = 0,8 \frac{U^2}{R} \Leftrightarrow$$
\begin{cases} Z_{L_1} = \frac16 R  \\ Z_{C_1} =\frac23 R \end{cases}$$
Khi $f=3f_1$ thì: $$\begin{cases} Z_{L_1} =\frac12 R  \\ Z_{C_1} =\frac29 R  \end{cases}$$
Hệ số công suất khi đó là: $$ \cos \varphi = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\frac12 R   - \frac23 R)^2}} = 0,9863$$

Bài 5. Trên đoạn mạch xoay chiều không phân nhánh có bốn điểm theo đúng thứ tự A, M, N và B. Giữa hai điểm A và M chỉ có điện trở thuần, giữa hai điểm M và N chỉ có cuộn dây, giữa 2 điểm N và B chỉ có tụ điện. Đặt vào hai đầu đoạn mạch một điện áp 175 V – 50 Hz thì điện áp hiệu dụng trên đoạn AM là 25 (V), trên đoạn MN là 25 (V) và trên đoạn NB là 175 (V). Tính hệ số công suất của toàn mạch ?

Lời giải : Giản đồ các bạn tự vẽ. 
Gọi $\widehat{ABN}=\alpha \Rightarrow  \widehat{AMN}=\pi-\alpha $
Áp dụng định lý côsin trong tam giác ta có : $U_{AN}^2=U_{AM}^2+U_{MN}^2-2U_{AM}.U_{NM}.\cos (\pi-\alpha)=U_{AB}^2+U_{NB}^2-2U_{AB}.U_{NB}.\cos \alpha $$\Leftrightarrow U_{AM}^2 (1+\cos \alpha)=U_{AB}^2(1-\cos \alpha) \Rightarrow  \cos \alpha =0,8 $
$\Rightarrow$ hệ số công suất của đoạn mạch là $\boxed{\cos \varphi=\sqrt{1-\cos^2 \alpha }=0,6}$