Tìm độ cao thấp nhất của viên bi

Bài toán: Một viên bi đặc nhỏ nằm thả lăn không trượt theo một vòng lượn ABCD nằm trong mặt phẳng thẳng đứng, trong đó phần cung tròn BCD có bán kính R. Momen quán tính của viên bi là $I=\dfrac{2}{5}mr^2$ với m và r là khối lượng và bán kính.

Viên bi sẽ không rời khỏi đường cong tại điểm cao nhất C khi vật được thả không vận tốc đầu tại điểm A có độ cao thấp nhất $(h_{min})$ là
A. R
B.2,7R
C.2R
D.1,5R

Lời giải:
Các lực tác dụng lên viên bi khi chuyển động trên mặt phẳng nghiêng gồm: trọng lực P, phản lực N, lực ma sát nghỉ đóng vai trò lực làm quay viên bi.
Tại 1 điểm trên cung BC, các lực tác dụng lên viên bi gồm trọng lực P và phản lực N.
Phản lực N và thành phần chiếu lên phương hướng tâm đóng vai trò là lực hướng tâm:
$$N+Pcos\beta =\frac{mv^2}{R}$$ với $\beta$ là góc hợp bởi P và phương hướng tâm.
Tại C thì:
$$\cos\beta =1$$   
$$N\geq 0$$
$$\Rightarrow \frac{mv^2}{R}-P\geq 0 \Leftrightarrow v^2 \geq gR$$
Vận tốc của viên bi tại chân dốc; áp dụng định luật bảo toàn năng lượng. Vì viên bi thả không vận tốc đầu nên thế năng ở đỉnh dốc đã chuyển thành động năng quay và động năng tịnh tiến của viên bi tại chân dốc (ta chọn mốc thế năng ở chân dốc)
Ta có: $$mgh=\frac{1}{2}I\omega' ^2+\frac{1}{2}mv'^2$$
Năng lượng này sẽ chuyển 1 phần thành thế năng ở đỉnh C do đó $$mgh=\frac{1}{2}I\omega' ^2+\frac{1}{2}mv'^2\geq mg2R \Leftrightarrow h\geq 2R (*)$$
Bảo toàn năng lượng đối với đỉnh dốc và điểm C:
$$mgh=\frac{1}{2}I\omega ^2+\frac{1}{2}mv^2+mg2R\rightarrow h=\frac{7v^2}{10g}+2R$$  
$$\Rightarrow h\geq \frac{27}{10}R (**)$$  
Từ (*) và (**) kết luận $h_{min}=2,7R$