Phương trình mũ [Lần 7]

Bài 1. Giải phuơng trình $(2+\sqrt{3})^{(x+1)^2} + (2 -\sqrt{3})^{(x - 1)^2} =(2+\sqrt{3})^{2x^2 + 2} + 1 $.

Giải:
$$pt\Leftrightarrow (2+\sqrt{3})^{(x+1)^2} + \frac{1}{(2 +\sqrt{3})^{(x - 1)^2}} =(2+\sqrt{3})^{2x^2 + 2} + 1 $$.
$$\Leftrightarrow (2+\sqrt{3})^{2{x}^{2}+2}+1=(2+\sqrt{3})^{2x^2 + 2}(2 +\sqrt{3})^{(x - 1)^2}+(2 +\sqrt{3})^{(x - 1)^2}$$
$$\Leftrightarrow ((2 +\sqrt{3})^{(x - 1)^2}-1)((2+\sqrt{3})^{2{x}^{2}+2}+1)=0$$
$$\Leftrightarrow (2 +\sqrt{3})^{(x - 1)^2}-1=0$$$$\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1$$

Bài 2. Giải phương trình: $$21^{2\cos ^2x}+4^{2\cos ^2x}-25^{2\cos ^2x}=25^{2\sin ^2x}-21^{2\sin ^2x}-4^{2\sin ^2x}$$

Đặt $t=\cos^2{x}, t \in [0;1]$
Phương trình đã cho tương đương với:
$21^{2t}+21^{2-2t}+4^{2t}+4^{2-2t}-25^{2t}-25^{2-2t}=0$
Đặt $f(t)=21^{2t}+21^{2-2t}+4^{2t}+4^{2-2t}-25^{2t}-25^{2-2t}$ với $t \in [0;1]$
Ta có: $f'(t)=2\ln 21(21^{2t}-21^{2-2t})+2\ln 4(4^{2t}-4^{2-2t})+2\ln 25(25^{2-2t}-25^{2t})$
$f'(t)=0 \Leftrightarrow t=\frac{1}{2}$
Xét bảng biến thiên ta có $f(t) \leq 0, \forall t \in [0;1]$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $t=\frac{1}{2} \Leftrightarrow \cos^2 {x}=\frac{1}{2}$ tới đây giải pt tìm x và tìm kết quả.

Bài 3. Giải phương trình :$4.{2}^{3x}-3.{2}^{x}=\sqrt{1-{2}^{2x+2}+{2}^{4x+2}}$.

Đặt $t= 2^x > 0 $, thì $(I)$ trở thành:
$4t^3 - 3t =\sqrt{1-4t^2+4t^4} \\ \Rightarrow (4t^3-3t)^2 = 1-4t^2+4t^4 \ ( t  \ge \sqrt{\dfrac{3}{4}}) \\ \Leftrightarrow 16t^6 -28t^4 +13t^2 -1=0 \Leftrightarrow (t^2-1)(16t^4-13t^2+1)=0 \Rightarrow \left[ \begin{matrix} t^2 =1 \\ t^2 =\dfrac{3+\sqrt{5}}{8} \\t^2 = \dfrac{3-\sqrt{5}}{8} \end{matrix} \right. $

Do $t \ge \sqrt{\dfrac{3}{4}}$ nên chọn $t = 2^x =1 \Rightarrow x=0 $

Bài 4. Giải phương trình $$2^{x^2+2}+(x^2-1)\sqrt[3]{x^2+2}=8$$

Đặt $t=x^2+2\geq 2$ được phương trình ẩn $t$: $2^t+(t-3)\sqrt[3]{t}=8.$
Xét hàm số $f(t)=2^t+(t-3)\sqrt[3]{t}$ có đạo hàm
 $$f'(t)=2^t \ln2 + \dfrac{4t-3}{\sqrt[3]{t^2}}>0, \forall t\geq 2$$
nên hàm số đồng biến  với $t=\geq 2.$
Dễ thấy $t=3$ là nghiệm và là nghiệm duy nhất hay $x=\pm 1$ là 2 nghiệm PT đã cho.

Bài 5. Giải phương trình\[3^{x^2+2}+x^6-x^4+x^2-28=0\]

Giải:
Đặt $t={x}^{2}(t\geq 0)$
Pt $\Leftrightarrow {3}^{t+2}+{t}^{3}-{t}^{2}+t=28$
$f(t)={3}^{t+2}+{t}^{3}-{t}^{2}+t,t\geq 0$
$f'(t)={3}^{t+2}ln3+3{t}^{2}-2t+1>0.t\geq 0$
Nên f(t) đồng biến trên $t\geq 0$
Lại có f(1)=28
nên ${x}^{2}=1\Rightarrow x=+-1$