Phương trình Logarit [Lần 9]

Bài 1. Giải phương trình: $$\left( {x - 4} \right)^2 \log _4 \left( {x - 1} \right) - 2\log _4 \left( {x - 1} \right)^2  = \left( {x - 4} \right)^2 \log _{\left( {x - 1} \right)} 4 - 2\log _{\left( {x - 1} \right)} 16$$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x \ne 2
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
pt \Leftrightarrow {\log _4}\left( {x - 1} \right).\left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 4} \right] = \left( {{{\log }_{x - 1}}4} \right).\left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 4} \right]\\
\quad  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{\left( {x - 4} \right)^2} - 4\\
\log _4^2\left( {x - 1} \right) = 1
\end{array} \right.
\end{array}$

Bài 2. Giải phương trình: $$\log _{\left( {3 + x} \right)} 6 + \frac{{2\log _{\frac{1}{4}} \left( {4 - x} \right)}}{{\log _2 \left( {3 + x} \right)}} = 1$$

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
 - 3 < x < 4\\
x \ne  - 2
\end{array} \right.$
$\begin{array}{l}
pt \Leftrightarrow {\log _{3 + x}}6 - \frac{{{{\log }_2}\left( {4 - x} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {3 + x} \right)}} = 1\\
\quad  \Leftrightarrow {\log _{3 + x}}6 - {\log _{3 + x}}\left( {4 - x} \right) = 1\\
\quad  \Leftrightarrow {\log _{3 + x}}\frac{6}{{4 - x}} = 1
\end{array}$

Bài 3. Giải phương trình:$$\log_{2+\sqrt{5}}(x^2-2x-2012)=\log_{2\sqrt{2+\sqrt{5}}}(x^2-2x-2013)$$

Điều kiện: ${x^2} - 2x - 2013 > 0$
Ta đặt ${\log _{2 + \sqrt 5 }}\left( {{x^2} - 2x - 2012} \right) = t$, suy ra ${x^2} - 2x - 2013 = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^t} - 1$ và phương trình đã cho trở thành:
\[t = {\log _{2\sqrt {2 + \sqrt 5 } }}\left( {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^t} - 1} \right) \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt {2 + \sqrt 5 } } \right)^t} = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^t} - 1\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {\sqrt {\frac{{9 + 4\sqrt 5 }}{{8 + 4\sqrt 5 }}} } \right)^t} - {\left( {\frac{1}{{2\sqrt {2 + \sqrt 5 } }}} \right)^t} - 1 = 0\]
Đến đây ra xét hàm số $f(t) = {\left( {\sqrt {\frac{{9 + 4\sqrt 5 }}{{8 + 4\sqrt 5 }}} } \right)^t} - {\left( {\frac{1}{{2\sqrt {2 + \sqrt 5 } }}} \right)^t} - 1$, dễ thấy đây là hàm đồng biến nên phương trình $f(t) = 0$ nếu có nghiệm đó là duy nhất. Nhận thấy $f(2) = 0$. Từ đó suy ra $t = 2 \Leftrightarrow {\log _{2 + \sqrt 5 }}\left( {{x^2} - 2x - 2012} \right) = 2 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt {2022 + 4\sqrt 5 } $.


Bài toán tổng quát có dạng sau: Giải phương trình ${\log _a}f(x) = {\log _b}g(x)$

Đặt $t = {\log _a}f(x)$ ( ưu tiên đặt biểu thức nhìn đơn giản hơn)
Khi đó $f(x) = {a^t}$, dựa vào mới liên hệ giữa $f(x)$và $g(x)$ ta biểu diễn được $g(x) = h(t)$, khi đó phương trình trở thành:
$t = {\log _b}h(t) \Leftrightarrow h(t) - {b^t} = 0$

Để giải phương trình cuối thông thường dùng đến tính đơn điệu của hàm số, bằng việc xét hàm số $u(x) = h(x) - {b^x}$.

Bài 4. Giải phương trình : $$\log_7 x=\log_3(\sqrt{x}+2)$$

Đk: $x>0.$
Đặt $t=log_7x$. Suy ra $x=7^t$. Phương trình trở thành $t=log_3(\sqrt{7^t}+2)$ tương đương $3^t=(\sqrt{7})^t+2$
Chia cả 2 vế cho $(\sqrt{7})^t$, ta được $(\frac{3}{\sqrt{7}})^t=1+\frac{2}{(\sqrt{7})^t}  (1)$. Vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hảm nghịch biến.
Suy ra phương trình có không quá một nghiệm. Mặt khác $t=2$ là nghiệm của pt(1) nên $t=2$ là nghệm duy nhất. Suy ra $x=49$.

Bài 5. $5\log_{\frac{x}{9}} x+\log_{\frac{9}{x}} x^3 +8\log_{9x^2} x^2=2$

đk: $x>0,x\neq 9,x\neq \frac{1}{3}$

Dùng CT đổi cơ số (đưa về cơ số 3): ${log}_{a}b=\frac{{log}_{3}b}{{log}_{3}a}$

Ta có: ${log}_{\frac{x}{9}}x=\frac {{log}_{3}x} {{log}_{3} \frac{x}{9}}= \frac {{log}_{3}x} {{log}_{3}x-{log}_{3}9} = \frac {{log}_{3}x} {{log}_{3}x-2} $
${log}_{\frac{9}{x}}{x}^{3}= 3{log}_{\frac{9}{x}}x = \frac {3{log}_{3}x} {2-{log}_{3}x} $

${log}_{9{x}^{2}}{x}^{2}={log}_{3x}x=\frac{{log}_{3}x}{{log}_{3}3x}=\frac{{log}_{3}x}{{log}_{3}x+1}$
. đặt: $t={log}_{3}x\Rightarrow pt: 2{t}^{2}-3t+1=0$

Nghiệm $t=1\Rightarrow x=3$ ,
$t=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\sqrt{3}$