Bài 1. Giải phương trình: \left( {x - 4} \right)^2 \log _4 \left( {x - 1} \right) - 2\log _4 \left( {x - 1} \right)^2 = \left( {x - 4} \right)^2 \log _{\left( {x - 1} \right)} 4 - 2\log _{\left( {x - 1} \right)} 16
Điều kiện: \left\{ \begin{array}{l} x > 1\\ x \ne 2 \end{array} \right.
\begin{array}{l} pt \Leftrightarrow {\log _4}\left( {x - 1} \right).\left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 4} \right] = \left( {{{\log }_{x - 1}}4} \right).\left[ {{{\left( {x - 4} \right)}^2} - 4} \right]\\ \quad \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} {\left( {x - 4} \right)^2} - 4\\ \log _4^2\left( {x - 1} \right) = 1 \end{array} \right. \end{array}
Bài 2. Giải phương trình: \log _{\left( {3 + x} \right)} 6 + \frac{{2\log _{\frac{1}{4}} \left( {4 - x} \right)}}{{\log _2 \left( {3 + x} \right)}} = 1
Điều kiện: \left\{ \begin{array}{l} - 3 < x < 4\\ x \ne - 2 \end{array} \right.
\begin{array}{l} pt \Leftrightarrow {\log _{3 + x}}6 - \frac{{{{\log }_2}\left( {4 - x} \right)}}{{{{\log }_2}\left( {3 + x} \right)}} = 1\\ \quad \Leftrightarrow {\log _{3 + x}}6 - {\log _{3 + x}}\left( {4 - x} \right) = 1\\ \quad \Leftrightarrow {\log _{3 + x}}\frac{6}{{4 - x}} = 1 \end{array}
Bài 3. Giải phương trình:\log_{2+\sqrt{5}}(x^2-2x-2012)=\log_{2\sqrt{2+\sqrt{5}}}(x^2-2x-2013)
Điều kiện: {x^2} - 2x - 2013 > 0
Ta đặt {\log _{2 + \sqrt 5 }}\left( {{x^2} - 2x - 2012} \right) = t, suy ra {x^2} - 2x - 2013 = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^t} - 1 và phương trình đã cho trở thành:
t = {\log _{2\sqrt {2 + \sqrt 5 } }}\left( {{{\left( {2 + \sqrt 5 } \right)}^t} - 1} \right) \Leftrightarrow {\left( {2\sqrt {2 + \sqrt 5 } } \right)^t} = {\left( {2 + \sqrt 5 } \right)^t} - 1
\Leftrightarrow {\left( {\sqrt {\frac{{9 + 4\sqrt 5 }}{{8 + 4\sqrt 5 }}} } \right)^t} - {\left( {\frac{1}{{2\sqrt {2 + \sqrt 5 } }}} \right)^t} - 1 = 0
Đến đây ra xét hàm số f(t) = {\left( {\sqrt {\frac{{9 + 4\sqrt 5 }}{{8 + 4\sqrt 5 }}} } \right)^t} - {\left( {\frac{1}{{2\sqrt {2 + \sqrt 5 } }}} \right)^t} - 1, dễ thấy đây là hàm đồng biến nên phương trình f(t) = 0 nếu có nghiệm đó là duy nhất. Nhận thấy f(2) = 0. Từ đó suy ra t = 2 \Leftrightarrow {\log _{2 + \sqrt 5 }}\left( {{x^2} - 2x - 2012} \right) = 2 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt {2022 + 4\sqrt 5 } .
Bài toán tổng quát có dạng sau: Giải phương trình {\log _a}f(x) = {\log _b}g(x)
Đặt t = {\log _a}f(x) ( ưu tiên đặt biểu thức nhìn đơn giản hơn)
Khi đó f(x) = {a^t}, dựa vào mới liên hệ giữa f(x)và g(x) ta biểu diễn được g(x) = h(t), khi đó phương trình trở thành:
t = {\log _b}h(t) \Leftrightarrow h(t) - {b^t} = 0
Để giải phương trình cuối thông thường dùng đến tính đơn điệu của hàm số, bằng việc xét hàm số u(x) = h(x) - {b^x}.
Bài 4. Giải phương trình : \log_7 x=\log_3(\sqrt{x}+2)
Đk: x>0.
Đặt t=log_7x. Suy ra x=7^t. Phương trình trở thành t=log_3(\sqrt{7^t}+2) tương đương 3^t=(\sqrt{7})^t+2
Chia cả 2 vế cho (\sqrt{7})^t, ta được (\frac{3}{\sqrt{7}})^t=1+\frac{2}{(\sqrt{7})^t} (1). Vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hảm nghịch biến.
Suy ra phương trình có không quá một nghiệm. Mặt khác t=2 là nghiệm của pt(1) nên t=2 là nghệm duy nhất. Suy ra x=49.
Bài 5. 5\log_{\frac{x}{9}} x+\log_{\frac{9}{x}} x^3 +8\log_{9x^2} x^2=2
đk: x>0,x\neq 9,x\neq \frac{1}{3}
Dùng CT đổi cơ số (đưa về cơ số 3): {log}_{a}b=\frac{{log}_{3}b}{{log}_{3}a}
Ta có: {log}_{\frac{x}{9}}x=\frac {{log}_{3}x} {{log}_{3} \frac{x}{9}}= \frac {{log}_{3}x} {{log}_{3}x-{log}_{3}9} = \frac {{log}_{3}x} {{log}_{3}x-2}
{log}_{\frac{9}{x}}{x}^{3}= 3{log}_{\frac{9}{x}}x = \frac {3{log}_{3}x} {2-{log}_{3}x}
{log}_{9{x}^{2}}{x}^{2}={log}_{3x}x=\frac{{log}_{3}x}{{log}_{3}3x}=\frac{{log}_{3}x}{{log}_{3}x+1}
. đặt: t={log}_{3}x\Rightarrow pt: 2{t}^{2}-3t+1=0
Nghiệm t=1\Rightarrow x=3 ,
t=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\sqrt{3}
0 nhận xét