Phương trình Logarit [Lần 5]

Bài 1. Giải phương trình: $$ \sqrt{\log_{9}(3x^2-4x+2)} +1=\log_{3}(3x^2-4x+2)$$

Điều kiện: $\ 3x^2-4x+2 \ge 0$
Đặt: $\ u=\sqrt{log_9 (3x^2-4x+2)} \,\ (u \ge 0)$, từ đó phương trình đã cho trở thành: $$ 2u^2=u+1$$

Bài 2. Giải phương trình: $$8{\log _{\frac{1}{2}}}\frac{{{{(x - 1)}^2}}}{{2x + 1}} = {x^2} - 18x - 31$$

Điều kiện: $x>-\frac{1}{2}, \, x \ne 1.$ Ta có phương trình đã cho tương đương với $$-8\left\{ \log_2\left[(x-1)^2\right] -\log_2 (2x+1)\right\}=x^2-18x-31.$$ Do $x^2-18x-31=(x-1)^2-8(2x+1)-24$ nên ta có $$(x-1)^2+8\log_2 \left[(x-1)^2\right] =8(2x+1)+24+8\log_2(2x+1),$$ hay tương đương $$(x-1)^2+8\log_2 \left[(x-1)^2\right] =8(2x+1)+8\log_2\left[8(2x+1)\right].$$ Phương trình cuối có dạng $f\left((x-1)^2\right) =f\left( 8(2x+1)\right)$ với $f(t)=t+8\log_2 t.$

Rõ ràng $f(t)$ là hàm liên tục và đồng biến trên $\mathbb R^+,$ do đó ta có $f\left((x-1)^2\right) =f\left( 8(2x+1)\right)$ khi và chỉ khi $$(x-1)^2=8(2x+1),$$ tức $$x=9 -2\sqrt{22} \vee 9+2\sqrt{22}.$$ Vậy phương trình đã cho có tất cả hai nghiệm là $x=9-2\sqrt{22}$ và $x=9+2\sqrt{22}.$

Bài 3. Giải phương trình:$$\log_{\sqrt{3}} \left(\dfrac{3x}{\sqrt{x+1}+1} \right) + \log_{ \dfrac{1}{3}} (3x-4\sqrt{x+1}) = 2$$

Sau khi đặt điều kiện và biến đổi biểu thức logarit thu được phương trình:
$$\dfrac{x^2}{(x+2+2\sqrt{x+1})(3x-4\sqrt{x+1})}=1$$
$$\Leftrightarrow x^2-x+x\sqrt{x+1}-4\sqrt{x+1}-4=0$$
$$\Leftrightarrow x^2-x+x\sqrt{x+1}-\dfrac{4x}{\sqrt{x+1}-1}=0$$
$x=0$ không là nghiệm
$$\Leftrightarrow x-1+\sqrt{x+1}-\dfrac{4}{\sqrt{x+1}-1}=0$$
Đặt $t=\sqrt{x+1}-1, x$ khác $0$ nên $t$ khác $0$
Phương trình trở thành
$$t^2+3t-\dfrac{4}{t}=0$$
$$\Leftrightarrow t^3+3t^2-4=0$$

Bài 4. Giải  phương trình: $3(x-3)\log_2{x}=2(x-1)$

Điều kiện : $x>0.$
Đặt : $u=\log_2x \Rightarrow  x=2^u$ và phương trình viết lại thành : $$(3u-2)2^u=9u-2 \Leftrightarrow f(u)= 2^u-\frac{9u-2}{3u-2}$$Dễ thấy rằng $f(u)$ là một hàm số đồng biến trên $(\frac{2}{3}, +\infty)$ và $(-\infty, \frac{2}{3}).$ [HINT]Tính đạo hàm ra thôi :)[/HINT]
Ta lại chỉ ra được rằng : $f(0)=f(2)=0$ nên phương trình $f(u)=0$ đã cho chỉ có hai nghiệm $u=0, u=2.$
Đến đây suy ra : $x=1, x=4.$ Phương trình ban đầu có hai nghiệm $x=1, x=4$

Bài 5. Giải phương trình sau:\[\log _{27} (x^2  - 5x + 6)^3  = 0,5\log _{\sqrt 3 } (\frac{{x - 1}}{2}) + \log _9 (x - 3)^2 \]

Điều kiện: $x>1;x\neq 2;x\neq 3$
Ta có phương trình :
$\log_3\left|\left(x-2 \right)\left(x-3 \right) \right|=\log_3\frac{x-1}{2}+\log_3\left|x-3 \right|$
$\Leftrightarrow \log_3\left|x-2 \right|=\log_3\frac{x-1}{2}\Leftrightarrow\left|x-2 \right| =\frac{x-1}{2}$