Phương trình Logarit [Lần 8]

Bài 1. Giải phương trình: $$2^x=1+\log_2(1+\log_2(1+\log_2(x+1)))$$

Điều kiện: $ x > \dfrac{1- \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$.
Bài này có lẽ được sáng tác dựa trên hệ phương trình hoán vị sau: $$\begin{cases} 2^x = 1+ y \\ 2^y = 1+ z \\ 2^z =1 + m \\ 2^m = 1 + x \end{cases}$$ Vì vậy ta sẽ đưa phương trình dã cho về đúng bản chất của nó Bằng cách đặt:$$\begin{cases} y=\log_2(1+\log_2(1+\log_2(x+1))) \\ z=\log_2(1+\log_2(x+1)) \\ m=\log_2(x+1) \end{cases}$$  Ta có hệ đã cho trở thành:$$\begin{cases} 2^x = 1+ y(1) \\ 2^y = 1+ z(2) \\ 2^z =1 + m(3) \\ 2^m = 1 + x(4) \end{cases}$$
Không mất tính tổng quát giả sử $x=max(x, y, z, m)$.
Suy ra $$1+x\geq 1+m \Leftrightarrow 2^m \geq 2^z \Leftrightarrow m \geq z $$ $$\Leftrightarrow m+1\geq z+1 \Leftrightarrow 2^z \geq 2^y \Leftrightarrow z \geq y$$ $$\Leftrightarrow z+1 \geq y +1 \Leftrightarrow 2^y \geq 2^x \Leftrightarrow y \geq x$$
Suy ra $x=y=z=m \Rightarrow 2^x=1+x \Leftrightarrow x=0, x=1$.
Vậy $x=0, x=1$ là 2 nghiệm của phương trình đã cho.( phương trình cuối có thể dùng đạo hàm chứng minh phương trình có tối đa 2 nghiệm).

Bài 2. Giải phương trình sau $$\log_2(x^2+x+1)+\log_2(x^2-x+1)=\log_2(x^4+x^2+1)+\log_2(x^4-x^2+1)$$

Ta có $\log_2(x^2+x+1)+\log_2(x^2-x+1)=\log_2(x^2+x+1)(x^2-x+1)=\log_2(x^4+x^2+1)$
Như vậy phương trình viết lại thành $$\log_2(x^4-x^2+1)=0 \Leftrightarrow x^4-x^2+1=1 \Leftrightarrow x^2(x+1)(x-1)=0$$ Giải ra ta thu được phương trình có ba nghiệm $x=-1, x=0, x=1.$

Bài 3. Giải phương trình sau $$\log_4\left(x-\sqrt{x^2-1}\right).\log_5\left(x+\sqrt{x^2+1}\right)=\log_{20}\left(x-\sqrt{x^2-1}\right)$$

Điều kiện : $\ \begin{cases} x - \sqrt{x^2-1} > 0 \\ x + \sqrt{x^2-1} >0 \end{cases} \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x \le -1 \\ x \ge 1 \end{matrix} \right.$
Quan sát bài toán ta thấy ngay khi $x=1$ phương trình đã cho được thỏa vì $x - \sqrt{x^2-1} =1 \Rightarrow x=1$ nên $x=1$ là một nghiệm của phương trình đã cho.
Do đó bây giờ ta chỉ cần giải bài toán trên điều kiện : $\ x >1 \ \vee \ x \le -1$ là được.
Mặt khác ta để ý rằng : $\ \left(x - \sqrt{x^2-1} \right) \cdot \left(x + \sqrt{x^2-1} \right)=1$ nên ta hoàn toàn có thể tinh giảm đi độ rườm rà trong bài toán bằng phép đặt ẩn phụ.
Đặt  $\ t = x - \sqrt{x^2-1} \Rightarrow x + \sqrt{x^2-1} = \dfrac{1}{t} \quad (t >0).$ Lúc đó phương trình đã cho được biến đổi thành : $$\log_{4}t  \cdot \log_{5} \frac{1}{t }= \log_{20}t  \Leftrightarrow -\log_{4}t \cdot \log_{5}t = \log_{20}t \quad (1)$$ Ở phương trình  $(1)$ nếu quan sát về cơ số ta thấy ngay được $4 \cdot 5 =20$ nên rõ ràng ta hoàn toàn có thể đổi cơ số để có được nhân tử chung. Cụ thể ta có : $$\log_{5}t = \dfrac{\log_{20}t}{\log_{20}5}$$ Từ đó dẫn đến phương trình $(1)$ được biến đổi thành : $$- \log_{4}t \cdot \dfrac{\log_{20}t}{\log_{20}5} = \log_{20}t \Leftrightarrow - \log_{4}t = \log_{20}5 \Leftrightarrow t = 4^{-\log_{20}5}$$

Bài 4. Giải phương trình sau $$(x+1)\log_5^2(x+1)-(2x+7)\log_5(x+1)+10=0$$

Điều kiện: $x>-1$
Đặt $\ \log_5(x+1)=t$ ta có phương trình:$$(x+1)t^2-(2x+7)t+10=0$$
Phương trình này có:$\ \Delta=(2x+7)^2-40(x+1)=(2x-3)^2$
Suy ra:$$\left[\begin{array}{l}t=\dfrac{2x+7-(2x-3)}{2(x+1)}=\dfrac{5}{x+1}\\t=\dfrac{2x+7+(2x-3)}{2(x+1)}=2\end{array}\right.$$
Trường hợp 1: $ \ t=2 \Rightarrow \log_5(x+1)=2\Rightarrow x+1=25 \Rightarrow x=24 \ (TM)$
Trường hợp 2: $ \ t=\dfrac{5}{x+1}\Leftrightarrow \log_5(x+1)-\dfrac{5}{x+1}=0$
Xét hàm số $\ f(x)=\log_5(x+1)-\dfrac{5}{x+1}$ với $\ x>-1$
Ta có $\ f'(x)=\dfrac{1}{(x+1)\ln 5}+\dfrac{5}{(x+1)^2}>0$ trên $(-1;+\infty)$
Như vậy hàm số $f(x)$ đồng biến trên $(-1;+\infty)$
Mặt khác ta có $f(4)=0$ suy ra $x=4$ là nghiệm duy nhất của $\ f(x)=0$
Kết luận: Phương trình có 2 nghiệm $\ x=24; \ x=4$

Bài 5. Giải phương trình:$$\log_{2012} \frac{4x^2+2}{x^6+x^2+1}=x^6-3x^2-1.$$

Điều kiện $x^6+x^2+1>0$.
Phương trình đã cho viết lại $$\log_{2012}(4x^2+2)+(4x^2+2)=\log_{2012}(x^6+x^2+1)+(x^6+x^2+1)$$
Xét hàm số $f(t)=\log_{2012}t+t, t>0$ là hàm tăng. Từ đó ta có
$$4x^2+2=x^6+x^2+1 \Leftrightarrow x^6-3x^2-1=0$$