Phương trình Logarit [Lần 3]

Bài 1. Giải phương trình : $$(x+3) .\log^2_3(x+2) +4(x+2) .\log_3(x+2)=16$$

Điều kiện là $\ x \ge -2.$ Đặt $\ t = \log_3(x+2)$ ta có phương trình đã cho trở thành $$(x+3)t^2+4(x+2)t-16=0$$ Xem phương trình này là phương trình bậc hai theo $\ t$ ta có biệt số $$\Delta'=4(x+2)^2+16(x+3)=4x^2+32x+64=(2x+8)^2$$ Suy ra phương đó có hai nghiệm phân biệt $$\left[\begin{matrix} t= \dfrac{-2(x+2)+2x+8}{x+3}=\dfrac{4}{x+3} \\ t =\dfrac{-2(x+2)-2x-8}{x+3}=-4 \end{matrix}\right.$$

Bài 2. Giải phương trình: $$\log_{25}(x^2-8x+15)^2=\dfrac{1}{2}\log_{\sqrt{5}}\dfrac{x-1}{2}+\log_5|x-5|$$

Điều kiện: $x>1$, khi đó:
$(\star)\Longleftrightarrow \dfrac{1}{2}\log_5(x^2-8x+15)^2=\log_{5}\dfrac{x-1}{2}+\log_5|x-5|$
$\Longleftrightarrow \log_5|x^2-8x+15|=\log_5\dfrac{x-1}{2}+\log_5|x-5|$
$\Longleftrightarrow \log_5|x^2-8x+15|=\log_5\dfrac{(x-1)|x-5|}{2}$
$\Longleftrightarrow \log_5|(x-3)(x-5)|=\log_5\dfrac{(x-1)|x-5|}{2}$
$\Longleftrightarrow |(x-3)(x-5)|=\dfrac{(x-1)|x-5|}{2}\;\;\; (2\star)$
Để giải $(2\star)$ hãy lập bảng xét dấu, chú ý giải xong nhớ đối chiếu với điều kiện của phương trình để lấy nghiệm đúng

Bài 3. Giải phương trình : $$\log(4^{-1}2^{\sqrt{x}}-1) -1 = \log(\sqrt{2^{\sqrt x -2}}+2) - 2\log2$$

Điều kiện: $x>4$
Phương trình đã cho tương đương với $$\begin{aligned}&\log(2^{\sqrt{x}}-4) -1 = \log(\sqrt{2^{\sqrt x -2}}+2)\\ \Leftrightarrow & \log(2^{\sqrt{x}}-4)  = \log(10\sqrt{2^{\sqrt x -2}}+20) \\ \Leftrightarrow & 2^{\sqrt{x}}-4=10\sqrt{2^{\sqrt x-2}}+20\\ \Leftrightarrow & 2^{\sqrt{x}}-5\sqrt{2^{\sqrt x}}-24=0\quad(1) \end{aligned}$$ Đặt $t=\sqrt{2^{\sqrt x}}, (t>2)$. Phương trình $(1)$ trở thành $$t^2-5t-24=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array} {l} t=8 \\t=-3 \text{ (loại) } \end{array} \right.$$
Với $t=8\Rightarrow 2^{\sqrt x}=64\Rightarrow \sqrt x =6 \Rightarrow x= 36$
Vậy phương trình đã cho có nghiệm $x=36$.

Bài 4. Giải phương trình: $$2\log_4^2x=\log_2x \cdot \log_2\left(\sqrt{2x+1}-1\right).$$

Điều kiện $x>0.$ Khi đó phương trình đã cho được biến đổi thành : $$\begin{aligned} \dfrac{1}{2}\log_{2}^2x =\log_2{x}\log_2 \left(\sqrt{2x+1}-1 \right)&\Leftrightarrow \log_{2}x \left(\dfrac{1}{2}\log_{2}x - \log_2 \left(\sqrt{2x+1}-1 \right)\right)\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \log_{2}x =0 \\ \log_{2} \sqrt{x} = \log_{2} \left(\sqrt{2x+1}-1 \right) \end{matrix} \right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x =1 \\ \sqrt{x}= \sqrt{2x+1}-1 \end{matrix} \right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x =1 \\ x + 2\sqrt{x} +1 =2x+1 \end{matrix}\right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=1 \\2\sqrt{x}=x \end{matrix}\right. \\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x =1 \\ x=4 \end{matrix} \right.\end{aligned}$$

Bài 5. Giải phương trình: $$\log_5{x^4} - \log_2{x^3}-2 =- \log_2{x}\log_5{x}$$

$ĐK: x>0$
$PT \Leftrightarrow \dfrac{4.\log x}{\log5} -\dfrac{3.\log x}{\log2}-2=-\dfrac{\log x.\log x}{\log2.\log5}$

$\Leftrightarrow 4.\log x.log2 - 3.\log x.log5 - 2.\log2.\log5=- \log^{2}x$

$\Leftrightarrow \log^{2}x+ \log x.(4\log2-3\log5)-2\log2.\log5=0$

$\Leftrightarrow \log^{2}x+ \log x.(4-7\log5)+2\log^{2}5-2\log5=0$