Phương trình Logarit [Lần 6]

Bài 1. Giải phương trình:  $ \log_{2x} (x^2) - 14 \log_{16x} (x^3) + 40 \log_{4x} \sqrt{x} = 0 $

Điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}
 x > 0 \\
 x \ne \frac{1}{2} \\
 \end{array} \right.$
Phương trình đã cho tương đương :
$$\begin{array}{l}
  \Leftrightarrow \frac{{2\log _2 x}}{{\log _2 2x}} - \frac{{42\log _2 x}}{{\log _2 16x}} + \frac{{20\log _2 x}}{{\log _2 4x}} = 0 \\
  \Leftrightarrow \frac{{2\log _2 x}}{{1 + \log _2 x}} - \frac{{42\log _2 x}}{{4 + \log _2 x}} + \frac{{20\log _2 x}}{{2 + \log _2 x}} = 0 \\
  \Leftrightarrow 2\log _2 x\left( {\frac{1}{{1 + \log _2 x}} - \frac{{21}}{{4 + \log _2 x}} + \frac{{10}}{{2 + \log _2 x}}} \right) = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \log _2 x = 0(l) \\
 \frac{1}{{1 + \log _2 x}} - \frac{{21}}{{4 + \log _2 x}} + \frac{{10}}{{2 + \log _2 x}} = 0(**) \\
 \end{array} \right. \\
 (**) \Leftrightarrow 10\log _2^2 x + 7\log _2 x - 6 = 0 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 \log _2 x = \frac{1}{2} \\
 \log _2 x =  - \frac{6}{5} \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x = \sqrt 2  \\
 x = 2^{ - \frac{6}{5}}  \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}$$

Bài 2. Giải phương trình: $$(x+3).\ln (x+2)=2(x+1)$$

Điều kiện : $\ x >-2$. Với điều kiện này ta đưa phương trình về phương trình : $$\ln (x+2) = \dfrac{2x+2}{x+3} \Leftrightarrow \ln (x+2) - \dfrac{2x+2}{x+3} =0 \quad (1)$$ Xét hàm số $\ y = f(x)= \ln (x+2)  -\dfrac{2x+2}{x+3} \ ; \ \forall x > -2$
Ta có : $\ f'(x)= \dfrac{1}{x+2} - \dfrac{4}{(x+3)^2} = \dfrac{(x+3)^2 -4(x+2)}{(x+3)^2(x+2)} = \dfrac{(x+1)^2}{(x+3)^2(x+2)} >0 \ ; \ \forall x >-2$
 Từ đó ta có $\ y =f(x)$ đồng biến $\ \forall x > -2$. Do đó nếu phương trình $\ f(x)=0$ có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất.
Mặt khác ta có  $\ f(-1)=0$ nên ta có $\ x=-1$ là nghiệm của phương trình.

Bài 3. Giải phương trình: $ \log_{2} x + 2 \log_{7} x = 2 + \log_{2}x.\log_{7}x $

Đk: $x>0$
Đặt $t={log}_{2}x\Rightarrow x={2}^{t}$
Khi đó: $$Pt\Leftrightarrow t+2{log}_{7}{2}^{t}=2+t.{log}_{7}{2}^{t}$$
$$\Leftrightarrow t+2t {log}_{7}2=2{t}^{2}{log}_{7}$$
Đặt ${log}_{7}2=a$
$$pt\Leftrightarrow a{t}^{2}-t(1+2a)+2=0\Leftrightarrow t=\left\{\begin{matrix}
t=2a=2{log}_{7}2& \\
 t=1&
\end{matrix}\right.$$
$$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
x={2}^{{log}_{7}4} & \\
 x=2&
\end{matrix}\right.$$

Bài 4. Giải phương trình:$x \ln^2 x - (3x-1) \ln x+ 2x-2=0$

ĐK $x>0$
$$x \ln^2 x - (3x-1) \ln x+ 2x-2=0$$
$$\Leftrightarrow x(\ln^2 x -4) -3x(\ln x-2) +\ln x-2 =0$$.
$$\Leftrightarrow (\ln x -2)(x \ln x -x+1)=0$$
$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} \ln x -2=0  \\ x \ln x -x+1=0  \end{array} \right. $$
$$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x= e^2  \\ x \ln x -x+1=0  \end{array} \right. $$
Vấn đề còn lại là giải quyết pt:
$$x \ln x -x+1=0$$
Đặt $f(x)=x \ln x -x+1$
Có $f'(x)= \ln x$
$f'(x)=0 \Leftrightarrow x=1$
Lập bảng biến thiên thấy $f(x) \ge 0$ với mọi $x>0$
Dấu "=" xảy ra khi $x=1$
Vậy pt có nghiệm $x=e^2$; $x=1$

Bài 5. Giải phương trình:$$3\log_{2}^2x-\log_2x^2=x(3\log_2\sqrt{x}-1)$$

Điều kiện : $x>0$
Phương trình trở thành :

$$\begin{array}{l}
 \log _2 x\left( {3\log _2 x - 2} \right) = x\left( {\frac{3}{2}\log _2 x - 1} \right) \\
  \Leftrightarrow 2\log _2 x\left( {3\log _2 x - 2} \right) = x\left( {3\log _2 x - 2} \right) \\
  \Leftrightarrow \left( {3\log _2 x - 2} \right)\left( {2\log _2 x - x} \right) = 0 \\
 \left\{ \begin{array}{l}
 3\log _2 x - 2 = 0 \\
 2\log _2 x - x = 0 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}$$