Phương trình Logarit [Lần 2]

Bài 1. Giải phương trình:\[{\log _6}\left( {{5^x} + 11} \right) = {\log _7}\left( {{4^x} + 33} \right)\]

Đặt $t=\log_6(5^x+11) =\log_7 (4^x+33).$ Thế thì ta có $t> \log_7 33>\log_6 11$ và $$x=\log_5(6^t-11) =\log_4(7^t -33).$$ Xét hàm số $f(t)=\log_4(7^t-33)-\log_5(6^t-11)$ với $t> \log_7 33,$ ta có $$f'(t) =\frac{7^t \ln 7}{(7^t-33)\ln 4} -\frac{6^t \ln 6}{(6^t-11)\ln 5}.$$ Ta sẽ chứng minh $f'(t)>0,\, \forall t> \log_7 33$ và do $\frac{\ln7}{\ln 4} >\frac{7}{6}\cdot \frac{\ln 6}{\ln 5}>0$ (kiểm tra trực tiếp bằng máy tính) nên để chỉ ra điều này, ta chỉ cần chứng minh được $$\frac{7}{6}\cdot \frac{7^t}{7^t-33} >\frac{6^t}{6^t-11},$$ hay tương đương $$\frac{7(6^t-11)}{6^t} >\frac{6(7^t-33)}{7^t}.$$ Bất đẳng thức này có thể được viết lại thành $$\frac{189}{7^t }-\frac{77}{6^t} +1 >0.$$ Nếu $7^t  \le 3\cdot 6^t$ thì ta có $$\frac{198}{7^t}-\frac{77}{6^t}+1\ge \frac{198}{3\cdot 6^t}-\frac{77}{6^t}+1=-\frac{11}{6^t}+1=\frac{6^t-11}{6^t}>0.$$ Còn nếu $7^t>3\cdot 6^t $ thì ta có $t>3$ nên $$\frac{198}{7^t}-\frac{77}{6^t}+1 >-\frac{77}{6^t}+1>-\frac{77}{6^3}+1>0.$$ Và trong cả hai trường hợp, bất đẳng thức nêu ở trên đều đúng. Vì vậy khẳng định $f'(t)>0$ là đúng. Và như thế, ta suy ra $f(t)$ là một hàm liên tục và đồng biến trên $(\log_7 33,\, +\infty).$ Do đó phương trình $f(t)=0$ chỉ có thể có tối đa một nghiệm trên miền này. Mặt khác, dễ thấy $t=2$ thỏa mãn phương trình nên ta suy ra $t=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình trên miền $(\log_7 33,\, +\infty).$ Từ kết quả này, dễ dàng suy ra được phương trình đã cho ban đầu có nghiệm duy nhất $x=2.$

Bài 2. Giải phương trình :   \[{\log _3}\left( {{7^x} + 2} \right) = {\log _5}\left( {{6^x} + 19} \right)\]

Nếu $x<0$ thì ta có

 $$\log_3(7^x +2) <\log _33=1<\log_519 <\log_5(6^x+19).$$ 

Phương trình vô nghiệm nên chỉ cần xét $x \ge 0$ là đủ. 

Khi đó, xét hàm $f(x) =\log_3(7^x +2) -\log_5 (6^x+19),$

 ta có 

$$f'(x) =\frac{7^x \ln 7}{(7^x +2)\ln 3} -\frac{6^x \ln 6}{(6^x+19) \ln 5}.$$

 Do $\ln 7> \ln6 >0$ và $\ln 5> \ln 3>0$ 

nên $\frac{\ln7}{\ln 3}> \frac{\ln6}{\ln 5},$ 

suy ra $$f'(x)> \frac{\ln 7}{\ln 3}\left(\frac{7^x}{7^x+2} -\frac{6^x }{6^x+19}\right) = \frac{\ln 7}{\ln 3} \frac{19 \cdot 7^x -6^x}{(7^x+2)(6^x+19)} \ge \frac{\ln 7}{\ln 3} \frac{19 \cdot 6^x -6^x}{(7^x+2)(6^x+19)} =\frac{18\cdot 6^x \ln 7}{(7^x +2)(6^x+19) \ln 3} >0.$$ 

Điều này chứng tỏ $f(x)$ là hàm liên tục và đồng biến trên $(0,\, +\infty).$ Và do đó phương trình $f(x)=0$ chỉ có thể có tối đa một nghiệm trên miền này. Mặt khác, dễ thấy $x=1$ thỏa mãn nên ta đi đến kết luận phương trình đã cho chỉ có duy nhất một nghiệm $x=1.$

Bài 3. Giải phương trình: $\log_4 (x^2+x+1)^2-\log_{\dfrac{1}{2}} (x^2-x+1)=\dfrac{1}{3}\log_2 (x^2+x+1)^3+\log_{\sqrt{2}}( \sqrt{x^4-x^2+1})$

Phương trình đã cho được biến đổi thành :$$\log_2 (x^2+x+1)+\log_{2} (x^2-x+1)=\log_2 (x^2+x+1)+\log_{2}( x^4-x^2+1)$$ Tiếp tục biến đổi phương trình này ta được$$\log_2 (x^2+x+1) (x^2-x+1)=\log_2 (x^2+x+1)( x^4-x^2+1)$$$$\Leftrightarrow (x^2+x+1) (x^2-x+1)=(x^2+x+1)( x^4-x^2+1)$$

Bài 4. $$\log (10.5^x+15.20^x)=x+\log 25$$

Ta có:

$PT \Leftrightarrow \log (10.5^x+15.20^x)=\log 10^{x}+\log 25$

$\Leftrightarrow 10.5^x+15.20^x=25.10^{x}$

$\Leftrightarrow \dfrac{10}{2^{x}}+15.2^{x}=25$

$\Leftrightarrow  15(2^{x})^{2}-25.2^{x}+10=0$

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^{x} = 1 \\ 2^{x}= \dfrac{2}{3} \end{array} \right. $

$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x =1- \log_{2}3 \end{array} \right. $

Bài 5. Giải phương trình : $\ln{\left(x^2+x+1\right)}+x+x^4=0$

Với $x(x+1) \ge 0,$ ta có $\ln (x^2+x+1) \ge \ln 1=0$ và $x^4+x=x(x+1)(x^2-x+1) \ge 0$ nên $$\ln (x^2+x+1)+x^4+x \ge 0.$$ Mà theo giả thiết thì hai vế của bất đẳng thức trên bằng nhau. Điều này xảy ra khi và chỉ khi $x(x+1)=0,$ tức $x=0$ hoặc $x=-1.$ Vậy trong trường hợp này ta có $x=0$ và $x=-1$ là nghiệm của phương trình. 

Xét trường hợp $x(x+1) <0.$ Sử dụng bất đẳng thức $\ln (t+1) \le t,\, \forall t>-1,$ ta thu được $$\ln (x^2+x+1) +x^4+x \le (x^2+x)+x^4+x=x(x+1)(x^2-x+2) <0.$$ Suy ra trong trường hợp này, phương trình đã cho vô nghiệm.

Kết luận: phương trình đã cho có tất cả hai nghiệm là $x=0$ và $x=-1.$