Processing math: 0%

Thực hành để thành công


Thứ Sáu, 26 tháng 10, 2012

Phương trình Logarit [Lần 2]

Bài 1. Giải phương trình:{\log _6}\left( {{5^x} + 11} \right) = {\log _7}\left( {{4^x} + 33} \right)

Đặt t=\log_6(5^x+11) =\log_7 (4^x+33). Thế thì ta có t> \log_7 33>\log_6 11x=\log_5(6^t-11) =\log_4(7^t -33). Xét hàm số f(t)=\log_4(7^t-33)-\log_5(6^t-11) với t> \log_7 33, ta có f'(t) =\frac{7^t \ln 7}{(7^t-33)\ln 4} -\frac{6^t \ln 6}{(6^t-11)\ln 5}. Ta sẽ chứng minh f'(t)>0,\, \forall t> \log_7 33 và do \frac{\ln7}{\ln 4} >\frac{7}{6}\cdot \frac{\ln 6}{\ln 5}>0 (kiểm tra trực tiếp bằng máy tính) nên để chỉ ra điều này, ta chỉ cần chứng minh được \frac{7}{6}\cdot \frac{7^t}{7^t-33} >\frac{6^t}{6^t-11}, hay tương đương \frac{7(6^t-11)}{6^t} >\frac{6(7^t-33)}{7^t}. Bất đẳng thức này có thể được viết lại thành \frac{189}{7^t }-\frac{77}{6^t} +1 >0. Nếu 7^t  \le 3\cdot 6^t thì ta có \frac{198}{7^t}-\frac{77}{6^t}+1\ge \frac{198}{3\cdot 6^t}-\frac{77}{6^t}+1=-\frac{11}{6^t}+1=\frac{6^t-11}{6^t}>0. Còn nếu 7^t>3\cdot 6^t thì ta có t>3 nên \frac{198}{7^t}-\frac{77}{6^t}+1 >-\frac{77}{6^t}+1>-\frac{77}{6^3}+1>0. Và trong cả hai trường hợp, bất đẳng thức nêu ở trên đều đúng. Vì vậy khẳng định f'(t)>0 là đúng. Và như thế, ta suy ra f(t) là một hàm liên tục và đồng biến trên (\log_7 33,\, +\infty). Do đó phương trình f(t)=0 chỉ có thể có tối đa một nghiệm trên miền này. Mặt khác, dễ thấy t=2 thỏa mãn phương trình nên ta suy ra t=2 là nghiệm duy nhất của phương trình trên miền (\log_7 33,\, +\infty). Từ kết quả này, dễ dàng suy ra được phương trình đã cho ban đầu có nghiệm duy nhất x=2.


Bài 2. Giải phương trình :   {\log _3}\left( {{7^x} + 2} \right) = {\log _5}\left( {{6^x} + 19} \right)

Nếu x<0 thì ta có
 \log_3(7^x +2) <\log _33=1<\log_519 <\log_5(6^x+19). 
Phương trình vô nghiệm nên chỉ cần xét x \ge 0 là đủ. 
Khi đó, xét hàm f(x) =\log_3(7^x +2) -\log_5 (6^x+19),
 ta có 
f'(x) =\frac{7^x \ln 7}{(7^x +2)\ln 3} -\frac{6^x \ln 6}{(6^x+19) \ln 5}.
 Do \ln 7> \ln6 >0\ln 5> \ln 3>0 
nên \frac{\ln7}{\ln 3}> \frac{\ln6}{\ln 5}, 
suy ra f'(x)> \frac{\ln 7}{\ln 3}\left(\frac{7^x}{7^x+2} -\frac{6^x }{6^x+19}\right) = \frac{\ln 7}{\ln 3} \frac{19 \cdot 7^x -6^x}{(7^x+2)(6^x+19)} \ge \frac{\ln 7}{\ln 3} \frac{19 \cdot 6^x -6^x}{(7^x+2)(6^x+19)} =\frac{18\cdot 6^x \ln 7}{(7^x +2)(6^x+19) \ln 3} >0. 
Điều này chứng tỏ f(x) là hàm liên tục và đồng biến trên (0,\, +\infty). Và do đó phương trình f(x)=0 chỉ có thể có tối đa một nghiệm trên miền này. Mặt khác, dễ thấy x=1 thỏa mãn nên ta đi đến kết luận phương trình đã cho chỉ có duy nhất một nghiệm x=1.


Bài 3. Giải phương trình: \log_4 (x^2+x+1)^2-\log_{\dfrac{1}{2}} (x^2-x+1)=\dfrac{1}{3}\log_2 (x^2+x+1)^3+\log_{\sqrt{2}}( \sqrt{x^4-x^2+1})

Phương trình đã cho được biến đổi thành :\log_2 (x^2+x+1)+\log_{2} (x^2-x+1)=\log_2 (x^2+x+1)+\log_{2}( x^4-x^2+1) Tiếp tục biến đổi phương trình này ta được\log_2 (x^2+x+1) (x^2-x+1)=\log_2 (x^2+x+1)( x^4-x^2+1)\Leftrightarrow (x^2+x+1) (x^2-x+1)=(x^2+x+1)( x^4-x^2+1)


Bài 4. \log (10.5^x+15.20^x)=x+\log 25

Ta có:
PT \Leftrightarrow \log (10.5^x+15.20^x)=\log 10^{x}+\log 25
\Leftrightarrow 10.5^x+15.20^x=25.10^{x}
\Leftrightarrow \dfrac{10}{2^{x}}+15.2^{x}=25
\Leftrightarrow  15(2^{x})^{2}-25.2^{x}+10=0
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^{x} = 1 \\ 2^{x}= \dfrac{2}{3} \end{array} \right.
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x =1- \log_{2}3 \end{array} \right.


Bài 5. Giải phương trình : \ln{\left(x^2+x+1\right)}+x+x^4=0

Với x(x+1) \ge 0, ta có \ln (x^2+x+1) \ge \ln 1=0x^4+x=x(x+1)(x^2-x+1) \ge 0 nên \ln (x^2+x+1)+x^4+x \ge 0. Mà theo giả thiết thì hai vế của bất đẳng thức trên bằng nhau. Điều này xảy ra khi và chỉ khi x(x+1)=0, tức x=0 hoặc x=-1. Vậy trong trường hợp này ta có x=0x=-1 là nghiệm của phương trình. 

Xét trường hợp x(x+1) <0. Sử dụng bất đẳng thức \ln (t+1) \le t,\, \forall t>-1, ta thu được \ln (x^2+x+1) +x^4+x \le (x^2+x)+x^4+x=x(x+1)(x^2-x+2) <0. Suy ra trong trường hợp này, phương trình đã cho vô nghiệm.

Kết luận: phương trình đã cho có tất cả hai nghiệm là x=0x=-1.
Chia sẻ
  • Share to Facebook
  • Share to Twitter
  • Share to Google+
  • Share to Stumble Upon
  • Share to Evernote
  • Share to Blogger
  • Share to Email
  • Share to Yahoo Messenger
  • More...

0 nhận xét

:) :-) :)) =)) :( :-( :(( :d :-d @-) :p :o :>) (o) [-( :-? (p) :-s (m) 8-) :-t :-b b-( :-# =p~ :-$ (b) (f) x-) (k) (h) (c) cheer

 
© 2011 ThựcHành.vn
Designed by Nguoithay.vn Cooperated with Duy Pham
Phiên bản chạy thử nghiệm
Theo dõi bài viếtTheo dõi nhận xét
Lên đầu trang