Phương trình Logarit [Lần 4]

Bài 1. Giải phương trình: $$\log_2 \dfrac{x^2-x+1}{2x^2-4x+3}=x^2-3x+2$$

Điều kiện: $x \in \mathbb{R}$
Phương trình được viết lại thành:
$$\begin{aligned} & \log_2 (x^2-x+1) + (x^2 - x + 1 ) = 2x^2 - 4x + 3 + \log_2 (2x^2-4x+3)  \\ \Leftrightarrow & x^2 - x + 1 = 2x^2 - 4x + 3 \text{ ( Do hàm số } f(t) = \log_2 t + t \text{ đồng biến trên} \ (0; + \infty) \text{ )} \\ \Leftrightarrow x^2 - 3x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array} {l} x= 1 \\ x=2  \end{array} \right. \end{aligned}$$

Bài 2. Giải phương trình: $$\log_2 \left( 2+\sqrt{2x-3}\right)=1+\log_4 (5-x)^2+\log_{\frac{1}{\sqrt{2}}}\sqrt{4-x}.$$

ĐK: $\dfrac{3}{2} <x<4$
Vậy:
$$PT \Longleftrightarrow \log_2 \left( 2+\sqrt{2x-3}\right)=1+\log_2 (5-x)-\log_2(4-x).$$ $$\Longleftrightarrow \log_2 \left[(4-x)( 2+\sqrt{2x-3})\right]=\log_2\left[2. (5-x)\right]$$ $$\Longleftrightarrow 8-2x+(4-x)\sqrt{2x-3})=10-2x$$ $$\Longleftrightarrow (4-x)\sqrt{2x-3}=2$$

Bài 3. Giải phương trình : $\log_{2}^2x+x\log_{7}(x+3)=\log_{2}x\left[\dfrac{x}{2}+2\log_{7}(x+3)\right]$

ĐK: $x>0$
$$PT \Longleftrightarrow \log_{2}^2x+x\log_{7}(x+3)=\dfrac{x}{2}\log_{2}x+2\log_{7}(x+3).\log_{2}x$$ $$\Longleftrightarrow \log_{2}x\left[\log_{2}x-\dfrac{x}{2}\right]-2.\log_{7}(x+3)\left[\log_{2}x-\dfrac{x}{2}\right]=0$$ $$\Longleftrightarrow \left[\log_{2}x-2.\log_{7}(x+3)\right].\left[\log_{2}x-\dfrac{x}{2}\right]=0$$

Bài 4. Giải phương trình sau trên tập số thực: $$2{\log _{\sqrt 2 }}( {3x + 5} ) + {\log _4}{( {3x + 1} )^8} = 4{\log _2}( {12x + 8} ).$$

Điều kiện xác định:$x>\dfrac{-1}{2}$
Phương trình được viết lại thành
$$4{log}_{2}(3x+5)+4{log}_{2}(3x+1)=4{log}_{2}(12x+8)$$
$$\Leftrightarrow {log}_{2}(3x+5)+{log}_{2}(3x+1)={log}_{2}(12x+8)$$
$$\Leftrightarrow {log}_{2}(3x+5)(3x+1)={log}_{2}(12x+8)$$
$$\Leftrightarrow (3x+5)(3x+1)=12x+8$$

Bài 5. Giải phương trình: $$\displaystyle {\log _{\frac{x}{2}}}8 + {\log _{\frac{x}{4}}}16 = \frac{{{{\log }_2}{x^2}}}{{{{\log }_2}x - 2}}.$$

Phương trình đã cho tương đương với phương trình sau
$$\frac{1}{{\log}_{8}\frac{x}{2}}+\frac{1}{{\log}_{16}\frac{x}{4}}=\frac{2{\log}_{2}x}{{\log}_{2}x-2}$$
$$\Leftrightarrow \frac{3}{{\log}_{2}x-1}+\frac{2}{\frac{1}{2}{\log}_{2}x-1}=\frac{2{\log}_{2}x}{{\log}_{2}x-2}$$