Bất đẳng thức [lần 1]

Bài 1.[Biến độc lập].Cho 3 số thực $a, b, c \in [1; 2]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P= \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}$

Hướng dẫn

Do BDT là hoán vị của $a,b,c$ giả sử$ a \geq b \geq c$

$\Rightarrow (a-b)(b-c) \geq 0$

$\Rightarrow ab+bc\geq b^2+ac$

Chia hai vế cho bc

$\Rightarrow \frac{a}{c}+1 \geq \frac{b}{c}+\frac{a}{b}$

Do đó $P \le \frac{a}{c}+\frac{c}{a}+1$

Đặt $\frac{a}{c}=t$

Xét hàm số $f(t)=t+\frac{1}{t}+1$ với $t \in[\frac{1}{2};2]$

Ta tìm được $maxf(t)=\frac{7}{2}$ khi $t=\frac{1}{2}$hoặc $t=2$

Vậy $maxP=\frac{7}{2}$ đạt khi $a=2, b=c=\frac{1}{2}$ và các hoán vị

Tuy nhiên chữ " giải sử " làm ta liên tưởng tới việc không chắc chắn nên cách giải trên không đươc " chuẩn"

Lời giải chưa chính xác, vai trò của $a, b, c$ là hoán vị nên không thể giả sử $a \ge b \ge c$ được!
Với bài này, do vai trò $a, b, c$ là hoán vị nên có thể giả sử $b$ là số ở giữa $a$ và $c$ từ đó mới có : $(b-a)(b-c) \le 0$ và có được lời giải như trên!

Cách nhìn nhận khác

Do P không đổi khi ta hoán vị các biến, nên không mất tổng quát, giả sử a là số nhỏ nhất trong 3 số. Cố định b, c và coi P là hàm biến a, khi đó ta có: $P'(a) = \dfrac{1}{b} - \dfrac{c}{a^2}=\dfrac{a^2-bc}{a^2b} \le 0 $ trên $[1; 2]$.

Vậy $P(a)$ nghịch biến trên $[1; 2]$, do đó $P(a)\ge P(1) = \dfrac{1}{b} +\dfrac{b}{c} + c = f(b)$

Tiếp theo, cố định c, coi $P(1)$ là hàm biến b, ta lại có:

$f'(b) = -\dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{b^2 - c}{b^2c} = 0 \Leftrightarrow b = \sqrt{c}$

Lập bảng biến thiên trên $[1; 2]$, ta thấy $f(b)$ đạt giá trị lớn nhất $f(1)= 1 + \dfrac{1}{c}+c=g(c)$ hoặc $f(2)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{c}+c=h(c)$.

Khảo sát 2 hàm $g(c), \quad h(c)$ trên $[1; 2]$ đều cho ta giá trị lớn nhất bằng $\dfrac{7}{2}$.

Như vậy, cuối cùng cho ta kết quả, giá trị lớn nhất của P bằng $\dfrac{7}{2}$.

Bài 2 [Biến độc lập].Cho 3 số thực $a, b, c \in [1; 2]$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P= \dfrac{a}{b} + 2\dfrac{b}{c} + 3\dfrac{c}{a}$

Hướng dẫn
Do $a,\,b \in [1,\,2]$ nên ta có $\frac{1}{2} \le \frac{a}{b} \le 2.$ Suy ra $$\left(\frac{a}{b} -2\right)\left(\frac{b}{a} -2\right) \ge 0.$$ Khai triển bất đẳng thức này, ta thu được $$\frac{a}{b} \le \frac{5}{2} -\frac{b}{a}.$$ Do đó, $$P \le \frac{2b}{c}+\frac{3c-b}{a}+\frac{5}{2}.$$ Ta có $3c-b \ge 3\cdot 1-2>0$ và $a \ge 1$ nên $\frac{3c-b}{a} \le 3c-b.$ Từ đây đưa đến $$P \le b\left(\frac{2}{c} -1\right) +3c +\frac{5}{2}.$$ Do $\frac{2}{c} -1 \ge \frac{2}{2}-1=0$ và $b \le 2$ nên ta có $$P \le 2\left(\frac{2}{c} -1\right) +3c+\frac{5}{2} =3c+\frac{4}{c}+\frac{1}{2} =\frac{(3c-2)(c-2)}{c} +\frac{17}{2} \le \frac{17}{2}.$$ Mặt khác, dễ thấy đẳng thức xảy ra khi $a=1$ và $b=c=2.$ Vậy $\max P =\frac{17}{2}.$ $\blacksquare$