Bài 1.[Biến độc lập].Cho 3 số thực a, b, c \in [1; 2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= \dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a}
Hướng dẫn
Do BDT là hoán vị của a,b,c giả sử a \geq b \geq c
\Rightarrow (a-b)(b-c) \geq 0
\Rightarrow ab+bc\geq b^2+ac
Chia hai vế cho bc
\Rightarrow \frac{a}{c}+1 \geq \frac{b}{c}+\frac{a}{b}
Do đó P \le \frac{a}{c}+\frac{c}{a}+1
Đặt \frac{a}{c}=t
Xét hàm số f(t)=t+\frac{1}{t}+1 với t \in[\frac{1}{2};2]
Ta tìm được maxf(t)=\frac{7}{2} khi t=\frac{1}{2}hoặc t=2
Vậy maxP=\frac{7}{2} đạt khi a=2, b=c=\frac{1}{2} và các hoán vị
Lời giải chưa chính xác, vai trò của a, b, c là hoán vị nên không thể giả sử a \ge b \ge c được!
Với bài này, do vai trò a, b, c là hoán vị nên có thể giả sử b là số ở giữa a và c từ đó mới có : (b-a)(b-c) \le 0 và có được lời giải như trên!
Cách nhìn nhận khác
Do P không đổi khi ta hoán vị các biến, nên không mất tổng quát, giả sử a là số nhỏ nhất trong 3 số. Cố định b, c và coi P là hàm biến a, khi đó ta có: P'(a) = \dfrac{1}{b} - \dfrac{c}{a^2}=\dfrac{a^2-bc}{a^2b} \le 0 trên [1; 2].
Vậy P(a) nghịch biến trên [1; 2], do đó P(a)\ge P(1) = \dfrac{1}{b} +\dfrac{b}{c} + c = f(b)
Tiếp theo, cố định c, coi P(1) là hàm biến b, ta lại có:
f'(b) = -\dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c} = \dfrac{b^2 - c}{b^2c} = 0 \Leftrightarrow b = \sqrt{c}
Lập bảng biến thiên trên [1; 2], ta thấy f(b) đạt giá trị lớn nhất f(1)= 1 + \dfrac{1}{c}+c=g(c) hoặc f(2)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{2}{c}+c=h(c).
Khảo sát 2 hàm g(c), \quad h(c) trên [1; 2] đều cho ta giá trị lớn nhất bằng \dfrac{7}{2}.
Như vậy, cuối cùng cho ta kết quả, giá trị lớn nhất của P bằng \dfrac{7}{2}.
Bài 2 [Biến độc lập].Cho 3 số thực a, b, c \in [1; 2]. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P= \dfrac{a}{b} + 2\dfrac{b}{c} + 3\dfrac{c}{a}
Hướng dẫn
Do a,\,b \in [1,\,2] nên ta có \frac{1}{2} \le \frac{a}{b} \le 2. Suy ra \left(\frac{a}{b} -2\right)\left(\frac{b}{a} -2\right) \ge 0. Khai triển bất đẳng thức này, ta thu được \frac{a}{b} \le \frac{5}{2} -\frac{b}{a}. Do đó, P \le \frac{2b}{c}+\frac{3c-b}{a}+\frac{5}{2}. Ta có 3c-b \ge 3\cdot 1-2>0 và a \ge 1 nên \frac{3c-b}{a} \le 3c-b. Từ đây đưa đến P \le b\left(\frac{2}{c} -1\right) +3c +\frac{5}{2}. Do \frac{2}{c} -1 \ge \frac{2}{2}-1=0 và b \le 2 nên ta có P \le 2\left(\frac{2}{c} -1\right) +3c+\frac{5}{2} =3c+\frac{4}{c}+\frac{1}{2} =\frac{(3c-2)(c-2)}{c} +\frac{17}{2} \le \frac{17}{2}. Mặt khác, dễ thấy đẳng thức xảy ra khi a=1 và b=c=2. Vậy \max P =\frac{17}{2}. \blacksquare
0 nhận xét