Hệ phương trình [lần 1]

Bài 1: $\begin{cases} \frac{x+\sqrt{x^2-y^2}}{x-\sqrt{x^2-y^2}}=\frac{9x}{5}  \\  \frac{x}{y}=\frac{5+3x}{6(5-y)}   \end{cases}.$

Hướng dẫn

Phương trình thứ nhất có căn thức lượng liên hợp.Đó là lý do đơn giản nhất để ta nghĩ đến trục căn thức.
Ta biết pt thứ nhất dưới dạng:
$$\dfrac{(x+\sqrt{x^2-y^2})^2}{x^2-(x^2-y^2)}=\frac{9x}{5} \Leftrightarrow (\dfrac{x}{y}+\sqrt{\dfrac{x^2}{y^2}-1})^2=\dfrac{9x}{5}(1)$$
Nhận thấy rằng vế trái của $(1)$ là 1 hàm theo $\dfrac{x}{y}$ do đó tư tưởng của ta là cố gắng biểu diễn $x$ theo $\dfrac{x}{y}$ và đó là nhiệm vụ của pt(2) của hệ.
$$\dfrac{6x}{6y}=\dfrac{5+3x}{30-6y}=\dfrac{5+9x}{30} \Rightarrow \dfrac{6x}{y}-1=\dfrac{9x}{5}$$
Phần còn lại đơn giản xin dành cho các bạn

Bài 2: $\begin{cases}  x^3-y^3+3y^2-3x=2  \\    x^2+\sqrt{1-x^2} -3\sqrt{2y-y^2}=-2 \end{cases}$

Hướng dẫn
ĐK;$-1\leq x\leq 1$

-Từ phương trình đầu ta có $x^3-3x=(y-1)^3-3(y-1)$

- Xét hàm số $f(t)=t^3-3t, khi, t\in \left[-1;1 \right]$

   $f'(t)=3t^2-3\leq 0$
Do đó hàm số nghịch biến trên $\left[-1;1 \right]$

Mà $f(x)=f(y-1)\Rightarrow x=y-1$

- Thế vào phương trình thứ hai ta được phương trình tương dương sau:

$x^2-2\sqrt{1-x^2}+2=0$

-Đặt $a=\sqrt{1-x^2}$ ta được phương trình sau 

$-t^2-2t+3=0$

Tới đây thì dễ rồi

Bài 3:   $\begin{cases}  9y^3(3x^3-1)=-125 \\   45x^2y+75x=6y^2  \end{cases}$

Hướng dẫn

[COLOR=Blue][B]*)[/B][/COLOR]$y=0$ không phải là nghiệm của hệ phương trình
[COLOR=Blue][B]*)[/B][/COLOR]$y$ khác $0$,chia phai vế pt$(1)$ cho $y^3$,pt$(2)$ cho $y^2$,ta được:
$$\begin{cases} 27x^3+\frac{125}{y^3}=9 \\ 45\frac{x^2}{y}+75\frac{x}{y^2}=6 \end{cases}$$
hay $$\begin{cases} (3x)^3+(\frac{5}{y})^3=9 \\ (3x)^2\frac{5}{y}+3x(\frac{5}{y})^2=6 \end{cases}$$
Đặt: $\begin{cases} a=3x \\ b=\frac{5}{y} \end{cases}$,hệ trở thành :
$$\begin{cases} a^3+b^3=9 \\ ab(a+b)=6 \end{cases}$$
Đến đây dễ rồi

Bài 4:  $\begin{cases}  8x^6-\frac{1}{2}xy=y-3x^4  \\   x^3-4x^2y=y  \end{cases}$

$x=-2$ không thoả mãn.
Khi đó, từ phương trình 1 suy ra: $y = \frac{8x^6+3x^2}{x+2}$
Va từ phương trình 2 suy ra: $y = \frac{x^3}{4x^2+1}$
Do đó: $$\frac {8x^6+3x^2}{x+2}=\frac{x^3} {4x^2+1} \Rightarrow x^ 3(64x^6+16x^4+23x^2-2x+6)=0$$ $$\Rightarrow x = 0 \rightarrow y = 0.$$