Bài 1: Giải phương trình : \sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7}=\sqrt[4]{x+80}
Điều kiện:x\geq 0
Phương trình đã cho được viết lại như sau:\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7}-\sqrt[4]{x+80}=0
Xét hàm số:f(x)=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7}-\sqrt[4]{x+80} với x\geq 0
Ta có :f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+7)^2}}-\dfrac{1}{4\sqrt[4]{(x+80)^3}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{4\sqrt[4]{(x+80)^3}-3\sqrt[3]{(x+7)^2}}{12\sqrt[3]{(x+7)^2}\sqrt[4]{(x+80)^3}}
Mặt khác ta chứng minh được: 4\sqrt[4]{(x+80)^3}-3\sqrt[3]{(x+7)^2}\geq 0 \ (\star)
Thật vậy (\star) tương đương với 4^{12} (x+80)^{9} \geq 3^{12}(x+7)^8 mà điều này là hiển nhiên đúng với mọi x\geq 0
Như vậy hàm số f(x) đồng biến trên [0;+\infty)
Ta có f(1)=0 suy ra x=1 là nghiệm duy nhất.
Bai 2: Giải phương trình :\sqrt[3]{x^3-1}+\sqrt[3]{2-x^3}=1Đặt \begin{cases} & \text a=\sqrt[3]{x^3-1} \\ & \text b= \sqrt[3]{2-x^3} \end{cases} Ta có HPT : \begin{cases} & \text a+b=1 \\ & \text a^3+b^3=1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} & \text a+b=1 \\ & \text ab=0 \end{cases}
Đến đây đơn giản
Cách khác
Ta còn có thêm cách giải trực tiếp như sau :
Lập phương 2 vế ta được một phương trình tương đương
\begin{align} & \left(\sqrt[3]{x^3-1}+\sqrt[3]{2-x^3}\right)^3=1 \\ \Leftrightarrow & 1+3\sqrt[3]{(x^3-1)(2-x^3)}\left(\sqrt[3]{x^3-1}+\sqrt[3]{2-x^3}\right)=1 \\ \Leftrightarrow & 3\sqrt[3]{(x^3-1)(2-x^3)}\left(\sqrt[3]{x^3-1}+\sqrt[3]{2-x^3}\right)=0 \\ \Rightarrow & 3\sqrt[3]{(x^3-1)(2-x^3)} =0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1 \\ x=\sqrt[3]{2} \end{array}\right.\end{align}
Thử lại chỉ thấy thỏa mãn.
Bài 3: Giải phương trình: \sqrt{{x}^{2}-x+1}=\dfrac{{x}^{3}+2{x}^{2}-3x+1}{{x}^{2}+2}
Phương trình đã cho tương đương với :
\sqrt{x^2-x+1}-(x+2)=\dfrac{x^3+2x^2-3x+1}{x^2+2}-(x+2)\qquad(1)
Dễ thấy x=-\dfrac{3}{5} là một nghiệm của phương trình (1).
Với x\ne -\dfrac{3}{5}, khi đó phương trình (1) trở thành:
\dfrac{-5x-3}{\sqrt{x^2-x+1}+x+2}=\dfrac{-5x-3}{x^2+2}
\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x+1}+x+2=x^2+2
\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x+1}=x^2-x\qquad(2)
Đặt t=\sqrt{x^2-x+1} > 0, phương trình (2) trở thành:
t^2-1=t \Leftrightarrow t=\dfrac{1+\sqrt5}{2}
Đến đây đơn giản
Bài 4: Giải phương trình :
\sqrt[3]{14-x^3}+x=2(1+\sqrt{x^2-2x-1})
Hướng dẫn
]Điều kiện:x^2-2x-1\geq 0
Phương trình được viết lại như sau:\sqrt[3]{14-x^3}-2\sqrt{x^2-2x-1}=2-x
Từ đây ta suy ra:\sqrt[3]{14-x^3}\geq 2-x\Leftrightarrow 14-x^3\geq 8-12x+6x^2-x^3\Leftrightarrow 6(x^2-2x-1)\leq 0
Kết hợp điều kiện ta có: \ \ x^2-2x-1=0
Bài toán này ngoài cách giải trên còn cách khác
$\Leftrightarrow \sqrt[3]{14-x^3}+x-2=2\sqrt{x^2-2x-1} $
\Leftrightarrow \frac{-6(x^2-2x-1)}{a^2-ab+b^2}-2\sqrt{x^2-2x-1} =0 \Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x-1}\left(\dfrac{-6\sqrt{x^2-2x-1}}{a^2-ab+b^2}-2\right) =0
\Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x-1}=0
Trong đó : \begin{cases} a=\sqrt[3]{14-x^3} \\ b=x-2 \end{cases}
Phần trong ngoặc luôn âm.
Bài 5: Giải phương trình : \sqrt{x+13}-\sqrt{x+6}=\sqrt[3]{x-2}
Hướng dẫn
Điều kiện: x \ge -6.
Với điều kiện trên, ta có:
\sqrt{x+13}-\sqrt{x+6}=\sqrt[3]{x-2}
\Leftrightarrow \sqrt{x+13}-\sqrt{x+6}-\sqrt[3]{x-2}=0
Xét f(x)=\sqrt{x+13}-\sqrt{x+6}-\sqrt[3]{x-2} với x \ge -6
Ta có:
f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+13}}-\frac{1}{2\sqrt{x+6}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-2)^2}}<\frac{1}{2\sqrt{x+6}}-\frac{1}{2\sqrt{x+6}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-2)^2}}<0
với x > -6.
Mà do f(x) liên tục với x \ge -6 nên f(x) là hàm nghịch biến trên tập xác định.
Suy ra f(x) = 0 có nghiệm duy nhất.
Ta lại có f(3)=0 nên x=3 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.
Kết luận: x=3
Cách khác
Điều kiện x\ge -6.
Phương trình đã cho được viết lại như sau
\begin{aligned} & \sqrt{x+13}-4+3-\sqrt{x+6}=\sqrt[3]{x-2}-1 \\ \Leftrightarrow & \dfrac{x-3}{\sqrt{x+13}+4}-\dfrac{x-3}{3+\sqrt{x+6}}=\dfrac{x-3}{\sqrt[3]{(x-2)^2}+\sqrt[3]{(x-2)}+1} \\ \Leftrightarrow & (x-3)\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x-2)^2}+\sqrt[3]{(x-2)}+1}+\dfrac{1}{3+\sqrt{x+6}} - \dfrac{1}{\sqrt{x+13}+4}\right)=0\end{aligned}
Ta có \sqrt{x+13}+4>\sqrt{x+6}+3 do đó \dfrac{1}{3+\sqrt{x+6}} - \dfrac{1}{\sqrt{x+13}+4}>0. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x=3.
Cách khác nữa
Thêm cách nữa :
Ta nhận thấy \sqrt{x+13}-\sqrt{x+6} >0
Nên điều kiện để phương trình có nghiệm là : x\geq 2
\sqrt{x+13}-\sqrt{x+6}=\sqrt[3]{x-2}
\Leftrightarrow 7=\sqrt[3]{x-2}\left(\sqrt{x+13}+\sqrt{x+6} \right
\bullet Với x=3 là nghiệm
\bullet Với x>3thì VT<VP
\bullet Với x<3thì VT>VP
Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất x=3
0 nhận xét