Phương trình vô tỷ [lần 1]

Bài 1: Giải phương trình : $$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7}=\sqrt[4]{x+80}$$

Điều kiện:$x\geq 0$
Phương trình đã cho được viết lại như sau:$$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7}-\sqrt[4]{x+80}=0$$
Xét hàm số:$f(x)=\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7}-\sqrt[4]{x+80}$ với $x\geq 0$

Ta có :$$f'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{1}{3\sqrt[3]{(x+7)^2}}-\dfrac{1}{4\sqrt[4]{(x+80)^3}}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\dfrac{4\sqrt[4]{(x+80)^3}-3\sqrt[3]{(x+7)^2}}{12\sqrt[3]{(x+7)^2}\sqrt[4]{(x+80)^3}}$$
Mặt khác ta chứng minh được: $$4\sqrt[4]{(x+80)^3}-3\sqrt[3]{(x+7)^2}\geq 0 \ (\star)$$
Thật vậy $(\star)$ tương đương với $4^{12} (x+80)^{9} \geq 3^{12}(x+7)^8$ mà điều này là hiển nhiên đúng với mọi $x\geq 0$
Như vậy hàm số $f(x)$ đồng biến trên $[0;+\infty)$
Ta có $f(1)=0$ suy ra $x=1$ là nghiệm duy nhất.

Bai 2: Giải phương trình  :$$\sqrt[3]{x^3-1}+\sqrt[3]{2-x^3}=1$$

Đặt $$\begin{cases}
 & \text a=\sqrt[3]{x^3-1}  \\
 & \text b= \sqrt[3]{2-x^3}
\end{cases}$$ Ta có HPT : $$\begin{cases}
 & \text a+b=1  \\
 & \text a^3+b^3=1
\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}
 & \text a+b=1  \\
 & \text ab=0
\end{cases}$$
Đến đây đơn giản

Cách khác


Ta còn có thêm cách giải trực tiếp như sau :
Lập phương 2 vế ta được một phương trình tương đương
$\begin{align} & \left(\sqrt[3]{x^3-1}+\sqrt[3]{2-x^3}\right)^3=1 \\
\Leftrightarrow & 1+3\sqrt[3]{(x^3-1)(2-x^3)}\left(\sqrt[3]{x^3-1}+\sqrt[3]{2-x^3}\right)=1 \\
\Leftrightarrow & 3\sqrt[3]{(x^3-1)(2-x^3)}\left(\sqrt[3]{x^3-1}+\sqrt[3]{2-x^3}\right)=0 \\
\Rightarrow & 3\sqrt[3]{(x^3-1)(2-x^3)} =0
\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1 \\  x=\sqrt[3]{2} \end{array}\right.\end{align}$
Thử lại chỉ thấy  thỏa mãn.

Bài 3: Giải phương trình: $$\sqrt{{x}^{2}-x+1}=\dfrac{{x}^{3}+2{x}^{2}-3x+1}{{x}^{2}+2}$$

Phương trình đã cho tương đương với :
$$\sqrt{x^2-x+1}-(x+2)=\dfrac{x^3+2x^2-3x+1}{x^2+2}-(x+2)\qquad(1)$$
Dễ thấy $x=-\dfrac{3}{5}$ là một nghiệm của phương trình $(1)$.
Với $x\ne -\dfrac{3}{5}$, khi đó phương trình $(1)$ trở thành:
$$\dfrac{-5x-3}{\sqrt{x^2-x+1}+x+2}=\dfrac{-5x-3}{x^2+2}$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x+1}+x+2=x^2+2$$
$$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-x+1}=x^2-x\qquad(2)$$
Đặt $t=\sqrt{x^2-x+1} > 0$, phương trình $(2)$ trở thành:
$$t^2-1=t \Leftrightarrow t=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$$
Đến đây đơn giản 

Bài 4: Giải phương trình : 

$$\sqrt[3]{14-x^3}+x=2(1+\sqrt{x^2-2x-1})$$

Hướng dẫn 

]Điều kiện:$x^2-2x-1\geq 0$
Phương trình được viết lại như sau:$$\sqrt[3]{14-x^3}-2\sqrt{x^2-2x-1}=2-x$$
Từ đây ta suy ra:$$\sqrt[3]{14-x^3}\geq 2-x\Leftrightarrow 14-x^3\geq 8-12x+6x^2-x^3\Leftrightarrow 6(x^2-2x-1)\leq 0$$
Kết hợp điều kiện ta có:$ \ \ x^2-2x-1=0$


Bài toán này ngoài cách giải trên còn cách khác

$\Leftrightarrow \sqrt[3]{14-x^3}+x-2=2\sqrt{x^2-2x-1} $

$\Leftrightarrow \frac{-6(x^2-2x-1)}{a^2-ab+b^2}-2\sqrt{x^2-2x-1} =0 $
$\Leftrightarrow \sqrt{x^2-2x-1}\left(\dfrac{-6\sqrt{x^2-2x-1}}{a^2-ab+b^2}-2\right) =0 $
$\Leftrightarrow  \sqrt{x^2-2x-1}=0$
Trong đó : $\begin{cases} a=\sqrt[3]{14-x^3} \\ b=x-2 \end{cases}$
Phần trong ngoặc luôn âm.

Bài 5: Giải phương trình : $\sqrt{x+13}-\sqrt{x+6}=\sqrt[3]{x-2}$

Hướng dẫn

Điều kiện: $x \ge -6$.

Với điều kiện trên, ta có:

$\sqrt{x+13}-\sqrt{x+6}=\sqrt[3]{x-2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{x+13}-\sqrt{x+6}-\sqrt[3]{x-2}=0$

Xét $f(x)=\sqrt{x+13}-\sqrt{x+6}-\sqrt[3]{x-2}$ với $x \ge -6$

Ta có: 

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+13}}-\frac{1}{2\sqrt{x+6}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-2)^2}}<\frac{1}{2\sqrt{x+6}}-\frac{1}{2\sqrt{x+6}}-\frac{1}{3\sqrt[3]{(x-2)^2}}<0$

với $x > -6$. 

Mà do $f(x)$ liên tục với $x \ge -6$ nên $f(x)$ là hàm nghịch biến trên tập xác định.

Suy ra $f(x) = 0$ có nghiệm duy nhất.

Ta lại có $f(3)=0$ nên $x=3$ là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

Kết luận: $x=3$

Cách khác 

Điều kiện $x\ge -6$.
Phương trình đã cho được viết lại như sau
$$\begin{aligned} & \sqrt{x+13}-4+3-\sqrt{x+6}=\sqrt[3]{x-2}-1 \\ \Leftrightarrow & \dfrac{x-3}{\sqrt{x+13}+4}-\dfrac{x-3}{3+\sqrt{x+6}}=\dfrac{x-3}{\sqrt[3]{(x-2)^2}+\sqrt[3]{(x-2)}+1} \\ \Leftrightarrow & (x-3)\left(\dfrac{1}{\sqrt[3]{(x-2)^2}+\sqrt[3]{(x-2)}+1}+\dfrac{1}{3+\sqrt{x+6}} - \dfrac{1}{\sqrt{x+13}+4}\right)=0\end{aligned}$$
Ta có $\sqrt{x+13}+4>\sqrt{x+6}+3$ do đó $\dfrac{1}{3+\sqrt{x+6}} - \dfrac{1}{\sqrt{x+13}+4}>0$. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3.$

Cách khác nữa

Thêm cách nữa :
Ta nhận thấy  $\sqrt{x+13}-\sqrt{x+6} >0 $
Nên điều kiện để phương trình có nghiệm là : $x\geq 2$

$ \sqrt{x+13}-\sqrt{x+6}=\sqrt[3]{x-2} $
$\Leftrightarrow  7=\sqrt[3]{x-2}\left(\sqrt{x+13}+\sqrt{x+6} \right$

$\bullet$ Với $x=3$ là nghiệm 
$\bullet$ Với $x>3$thì $VT<VP$
$\bullet$ Với $x<3$thì $VT>VP$
Kết luận phương trình có nghiệm duy nhất $x=3$