[HHKG] Quan hệ vuông học {khoảng cách} [lần 2]

Bài 7: Cho 2 tia chéo nhau $Ax,\ By $hợp với nhau góc$60, $nhận$AB=a$ làm đoạn vuông góc chung. Trên $By $lấy$ C $với $ BC=a.$ Gọi $D$ là hình chiếu vuông góc của$C$ lên $Ax. $
a, Tính$ AD,\ d_{(C;(ABD))}$
b, tính $ d_{(AC;BD)}$

Hướng dẫn

1)Kẻ $Bz // Ax =>$ $\hat{yBz}$=$60^{\circ}$. Gọi H là hình chiếu của C lên Bz, khi đó D sẽ là hình chiếu của H lên Ax, do đó $AD=BH= \frac{a}{2}$ và $ d(C,(ABD))= \frac{a{\sqrt{3}}}{2}$.
2)Gọi H' là điểm đối xứng của H qua B. gọi M, N $l^3$ hình chiếu của B lên AH' và trung điểm của $ H'C => (MNB)\perp AH'.$ Gọi O là hình chiếu của B lên $MN => BO=d(BD,AC)$

Bài 8: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $ O$, cạnh $a$,góc $A$ bằng $60$ độ và có đường cao $SO = a$.Tính khoảng cách giữa $O$ và mp$(SBC)$

Hướng dẫn

Ta có
$\Delta CDB\,\\$ cân tại C mà $\widehat A = \widehat C = {60^o}\\$ nên nó là tam giác đều
Kẻ $OH \bot BC;BC \bot SO \Rightarrow BC \bot (SOH)\\$
Kẻ:$OK \bot SH;OK \bot BC \Rightarrow OK \bot (SBC) \Rightarrow d[O;(SBC)] = OK\\$
$\frac{1}{{O{K^2}}} = \frac{1}{{S{O^2}}} + \frac{1}{{O{H^2}}} = $$\frac{1}{{{a^2}}} + \frac{{16}}{{3{a^2}}} = \frac{{19}}{{3{a^2}}} \Rightarrow OK = a\sqrt {\frac{3}{{19}}} \\
(OH = \frac{{OC}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{4})$

Bài 9:Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại CAC = aBC = 2a; SA$\bot $  (ABC) và SA = 3a, Gọi Dlà trung điểm của AB. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SCvà AB

 

Qua C kẻ $d//AB$. Gọi d là hình chiếu của A lên $ d => (SAD) \perp d =>$ Gọi H là hình chiếu của A lên $SD => d(AB,SC)=AH.$ Ta được $d(AB,SC)=\frac{a{\sqrt{66}}}{11}$.

Có 1 cách nghĩ khác

Gọi d là đt qua C và song song AB .Gọi H là hình chiếu của A lên D.tính ${V}_{S.ACH}$ rồi $\Rightarrow $] khoảng cách 

Cụ thể hơn vào cách giải bài này

Bài này cho điểm $D$ để làm gì?
Dựng hình bình hành $ABCE$ suy ra $AB//(SCE)$ vì vậy
$d_{AB;SC}$
$=d_AB;(SCE)$
$=d_A;(SCE)$
Hạ $AK$ vuông góc với $CE$; $AH$ vuông góc với $SK$ thì $AH$ vuông góc với $(SCE)$
Do đó $d_A;(SCE)=AH$
Ta có $\frac{1}{AH^2}$$=\frac{1}{AK^2}+\frac{1}{AS^2}$
Lại có
$\frac{1}{AK^2}$$=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AC^2}$
Suy ra
$\frac{1}{AH^2}$$=\frac{1}{AE^2}+\frac{1}{AC^2}+\frac{1}{AS^2}$

 

Bài 10 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD cạnh đáy bằng a. gọi E là điểm đối xứng D qua trung điểm của SA.M,N tương ứng là trung điểm của AE,BC.
1.Cm: MN vuông góc BD
2.Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng MN và AC theo a

Hướng dẫn

a) Gọi O là tâm đáy. I là trung điểm SA.
Nhận thấy ADSE,BCSE là các hình bình hành. Do đó MNIC là hình hình bình hành.
Nên MN$\parallel $IC.
Mặt khác: $BD\perp (SAC)\Rightarrow BD\perp IC$ (đpcm).

b) $MN//(SAC)\Rightarrow d(MN;SA)=d(N;(SAC))$
Gọi F là trung điển OC. Khi đó NF$\perp $AC$\Rightarrow $NF$\perp $(SAC).
Ta có : $NF = \dfrac{1}{2}BO= \dfrac{a\sqrt{2}}{2}$