[HHKG] Quan hệ vuông học {khoảng cách} [lần 3]

Bài 11:
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông tâm $O$ cạnh bằng $a$,$SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$ và $SA=a$.Tình khoảng cách giữa hai đường thẳng $AC$ và $SD$

Hướng dẫn 

Qua $O $dựng $OM$ song song với $SD$

Suy ra $SD$ song song với $(AMC)$ suy ra

$d_{SD;AC}=d_{SD;(AMC)}=d_{D;(AMC)}=d_{B;(AMC)}$

$=2d_{H;(AMC)}=2HK$

Với $H, N, K$ lần lượt là chân đường cao hạ từ $M, H$ lên $AB, AC, MN$

Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh a. Mp (SAB) và mp (SAD) cùng vuông góc (ABCD). Góc giữa SB tạo với mp (SCD) bằng $30^0$. Tính theo a diện tích xung quanh của hình chóp S.ABCD.

Xác định hình chiếu của $SB$ trên mp$(SCD)$[/B]

+ Dựng $(NPL)$ vuông góc $(SCD)$.

+ Trong $(NPL)$ kẻ $HI$ vuông góc với $NP$. Ta có: $HI$ vuông góc với $SCD$.

+ Dựng $BJ$ song song với $HI$. Ta có: $BJ$ vuông góc với $(SCD)$. Vậy, hình chiếu của $SB$ trên $(SCD)$ là $SJ$.

+ Do đó, góc giữa $SB$ và $(SCD)$ là $\widehat {BSJ} = {30^0}$.

Tính $SA$

+ Đặt $SA=h$. Khi đó, có: $$\frac{1}{{J{B^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} \Rightarrow JB = \frac{{ah}}{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}$$ $$SB=\sqrt{a^2+h^2}$$

+ Trong tam giác $BSJ$ có: $JB=SB.\sin 30^0$. Do đó: $a=h$.

+ Từ đó, ta tính được diện tích các mặt của hình chóp

Bài 13: Cho hình chóp $SABC$ có đáy $ABC $ là tam giác vuông tại $B$,$BC=a$ và $AC=2a$ cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và có độ dài bằng $a\sqrt 3 $.Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ lên đường thẳng $SB$.Tính thể tích khối tứ diện $HABC$ theo $a$

Lược giải:

- Vì

 $ SA\bot \left( ABC \right) $ 

 & $ BC\subset \left( ABC \right) $

 $=> BC\bot SA$.

 Mặt khác, $BC \bot AB$ nên $BC \bot (SAB)$, tức là $BC \bot (AHB).$

- Vậy ${{S}_{HABC}}=\dfrac{1}{3}BC.{{S}_{AHB}}.$

- Ta có $AB=\sqrt{AC^2-BC^2}=\sqrt{4a^2-a^2}=a\sqrt{3}=SA$, mà $SA \bot AB$ nên tam giác $SAB$ vuông cân tại $A$. Do đó $${{S}_{AHB}}=\frac{1}{2}{{S}_{SAB}}=\frac{1}{2}. \frac{1}{2}{{\left( a\sqrt{3} \right)}^{2}}=\frac{3{{a}^{2}}}{4}.$$

- Vậy ${{V}_{HABC}}=\dfrac{1}{3}BC.{{S}_{AHB}}=\dfrac{1}{3}.a.\dfrac{3{{a}^{2}}}{4}=\dfrac{{{a}^{3}}}{4}.$

Bài 14: Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $2a,$ hai mặt phẳng $(SAB) $ và $(SAD)$ cùng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD),$ khoảng cách từ trọng tâm $G$ của tam giác $SAB$ đến mặt phẳng $(SCD)$ bằng $a.$ Tính theo $a$ thể tích khối chóp $S.ABCD.$

Hướng dẫn (bạn vẽ hình nhé)

 Kẻ $AH \perp DC => (SAH) \perp CD$ . Từ $A$ hạ $AK \perp SH =>d(A,(SDC)=AK$

    Mà $AB//CD(gt)$ => $AB//(SDC) <=> d(A,(SDC)=d(L,(SDC)=AK$ ( với $L$ là trung điểm $AB$  )

    Do vậy $\frac{SG}{SL}=\frac{GO}{LK}$ (vs $O$ là ĐC kẻ từ $G$ xuống $(SDC)$)

$=> GO=\frac{SG.LK}{SL}=> OK$

 Bài 14: Cho hình chóp S.ACD có đáy ACD là tam giác đều cạnh a, tam giác SAD cân và $SD=\dfrac{a\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$. Gọi B là điểm đối xứng với D qua trung điểm O của cạnh AC, M là trung điểm của AB, SM vuông góc với AB. Tính thể tích khối chóp S.AMCD và tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng CM và SA theo a

 Cho trường hợp $\Delta SAD$ cân tại A [B](ngắn gọn hơn)[/B]

*Tính $V_{S.AMCD}$

Ta có $SM\bot AB, CM\bot AB$(vì $\Delta CAB$ đều) $\Rightarrow (SMC) \bot AB\Rightarrow (SMC)\bot (SAB)$.Kẻ $SH\bot MC\Rightarrow SH\bot (ABCD)$

(Để tính được $V_{S.AMCD}$ ta phải tính được $SH$ mà muốn tính $SH$ phải tính được $SC$)

Ta có: $SM=CM=\dfrac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \Delta SMC$ cân tại $M\Rightarrow MK \bot SC(K$ là trung điểm $SC)$
Mặt khác: $SB=CB=a \Rightarrow \Delta SBC$ cân tại $B\Rightarrow BK \bot SC$

Từ 2 điều trên $\Rightarrow (BMK) \bot SC \Rightarrow BM \bot SC \Rightarrow CD \bot  SC$.

$SC=\sqrt{SD^2-CD^2}=a\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ ;$MK=\sqrt{SM^2-SK^2}=\sqrt{SM^2-\dfrac{SC^2}{4}}=\dfrac{a\sqrt{21}}{6};SH=\dfrac{MK.SC}{MC}=\dfrac{a\sqrt{42}}{9}$
$V_{S.AMCD}=\dfrac{1}{3}.SH.S_{AMCD}=\dfrac{a^3 \sqrt{14}}{24}$

[B][I]*Tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng $SA$ và $CM$:[/I][/B]

Gọi $N$ là trung điểm $CD\Rightarrow AN //CM\Rightarrow CM // (SAN) \Rightarrow d(CM;SA)=d[M;(SAN)]$

Ta có $V_{M.SAN}=V_{S.AMN}=\dfrac{1}{3}.SH.S_{AMN}= \dfrac{a^3 \sqrt{14}}{72}$

$SN=\sqrt{SC^2+CN^2}=\dfrac{a \sqrt{33}}{6}$. $\Delta SAN$ đã có độ dài 3 cạnh $SA=a; AN=\dfrac{a \sqrt{3}}{2}; SN=\dfrac{a \sqrt{33}}{6}$ nên dùng công thức He-rông:$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$ ta tính được $S_{SAN}=\dfrac{a^2 \sqrt{83}}{24}$

Vậy: $d(CM;SA)=d[M;(SAN)]=\dfrac{3V_{M.SAN}}{S_{SAN}}=a \sqrt{\dfrac{14}{83}}$