Processing math: 0%

Thực hành để thành công


Thứ Hai, 22 tháng 10, 2012

[HHKG] Góc trong không gian [ lần 1]


Bài 1:
Cho hình bình hành ABCD có khoảng cách từ
A đến BD bằng a.Trên 2 tia AxCy cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và cùng chiều,lần lượt lấy hai điểm M,N.Đặt AM=c,CN=b.Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để hai mặt phẳng (BDM)(BDN) vuông góc với nhau là bc=a^2

Hướng dẫn
Vì góc giữa BDM)(BDN)$
90^0 nên tổng góc tạo bởi (MBD) với (ABCD) và góc tạo bởi (NBD) với (ABCD) bằng 90^0
Ta có tan\hat{MEA}=cot\hat{NFC} \Leftrightarrow \frac{c}{a}=\frac{a}{b}\Leftrightarrow bc=a^2
Trong đó E,F là chân đường cao hạ từ A,C lên BD


Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật tâm O,AB=a,các cạnh bên bằng nhau.Gọi K là hình chiếu của A lên mặt phẳng (SCD),OK = {{a\sqrt5}\over 2},góc giữa (SAB) và mặt phẳng đáy là 60^0.Tính thể tích khối chóp ACKHDACKD

Hướng dẫn 

Ta có \hat{SMN}=60^0; tam giác SMN đều
Gọi E là trung điểm của SN thì ME vuông góc với (SCD)
Qua E kẻ đường thẳng song song với CD lấy điểm K sao cho AN=EK thì AK vuông góc với (SCD)
CD vuông góc với (SMN) suy ra KE vuông góc với (SMN)
Do đó tam giác KEO vuông tại E
Ta có:OK^2=OE^2+EK^2 suy ra OE^2=\frac{5a^2}{4}-\frac{a^2}{4}=a^2 vậy OE=a
Suy ra SM=MN=2a
V_{AKCD}=\frac{1}{3}AK.dt(KCD)=\frac{1}{3}a\sqrt{3}.\frac{1}{2}a^2=\frac{\sqrt{3}a^3}{6}

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, góc BAD bằng 120^0. Hình chiếu của S xuống mặt phẳng (ABCD) là trọng tâm của tam giác ABD. Biết khoảng cách từ A đến (SCD) bằng  a\sqrt 2. Tính thể tích khối chóp S.ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SBAC.

Hướng dẫn


Tính thể tích khối chóp S.ABCD
+ Kẻ HI vuông góc với CD, HK vuông góc với SI. Ta có: HK vuông góc với (SCD).
+ Lại có: 
\dfrac{d(H;(SCD))}{d(A;(SCD))}=\dfrac{CH}{CA}= \dfrac{3}{4} Chú ý tam giác ACD đều.
+ Vậy : HK=d(H;(SCD))=\dfrac{3}{4}. a\sqrt 2=\dfrac{3a}{2\sqrt 2}
+ Trong tam giác HCI có: HI=HC.\sin 60^0
+ Từ đó, tính được SH

Bài 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh bên độ dài bằng a\sqrt 5 , các mặt bên cùng tạo với mặt đáy một góc 60^0 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp S.ABCD theo a

 Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB, \ CD thì MN\bot CD suy ra CD\bot (SMN) \ \Rightarrow  CD\bot SN  \Rightarrow \widehat{(SCD), (ABCD)}=\widehat{SNO}=60^0
Ta có \ SO^2=SN^2-ON^2=SC^2-NC^2-ON^2=5a^2-2ON^2=5a^2-2(\dfrac{SO}{\sqrt{3}})^2\Rightarrow SO=a\sqrt{3}, \ MN=2a
\star \ Thể tích khối chóp : V_{SABCD}=\dfrac{1}{3}SO. S_{ABCD}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}.4a^2=\dfrac{4\sqrt{3}a^3}{3}
\star \star Gọi I là tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp SABCD thì I phải thuộc đường cao SO
Mặt khác I phải cách đều mặt bên và đáy nên I thuộc mặt phẳng phân giác của góc tạo bởi 2 mặt phẳng (SCD)(ABCD)
Từ lập luận trên kết hợp điều kiện SABCD là hình chóp tứ giác đều ta suy ra I thuộc phân giác trong của góc \widehat{SNO}
Ta tính được: R=OI=ON\tan \widehat{INO}=a\tan 30^0=\dfrac{a\sqrt{3}}{3}

Bài 5Tính thể tích tứ diện ABCD biết BA=a; BC=b; BD = c \widehat{ABC}= \widehat{CBD}= \widehat{ABD}=60^0

Bài này có thể tính tổng quát trong trường hợp


\widehat{ABC}= \widehat{CBD}= \widehat{ABD}=a^0
Trên SA ,SB ,SC lần lượt lấy các điểm A’,B’,C’ sao cho SA’= SB’ = SC’ = a + b + c.
Khi đó các mặt bên của hình chóp S.A’B’C’ là các tam giác cân tại đỉnh S và bằng nhau ,mặt đáy A’B’C’ là tam giác đều . 
Đặt : x = a +b + c .
Áp dụng định lí cosin ta có :
   ^{A'B{{'}^{2}}=SA{{'}^{2}}+SB{{'}^{2}}-2SA'.SB'.\cos \alpha \text{ }=\text{ }2{{x}^{2}}-2{{x}^{2}}\cos \alpha =4{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}\frac{\alpha }{2}}
Suy ra   A'B'=2x\sin \frac{\alpha }{2}.Vì tam giác A’B’C’ là tam giác đều vậy :
Gọi M là trung điểm của A’B’ 
 Ta có :          C’M =\frac{2\sqrt{3}xsin\frac{\alpha }{2}}{2}=\sqrt{3}xsin\frac{\alpha }{2}
                         
     S{{M}^{2}}=\frac{2(SA{{'}^{2}}+SB{{'}^{2}})-A'B{{'}^{2}}}{4}=\frac{4{{x}^{2}}-4{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}\frac{a}{2}}{4}={{x}^{2}}(1-{{\sin }^{2}}\frac{a}{2})={{x}^{2}}{{\cos }^{2}}\frac{a}{2}
               \cos \widehat{ MSC'}=\frac{S{{M}^{2}}+SC{{'}^{2}}-C'{{M}^{2}}}{2SM.SC'}=\frac{{{x}^{2}}{{\cos }^{2}}\frac{a}{2}+{{x}^{2}}-3{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}\frac{a}{2}}{2{{x}^{2}}\cos \frac{a}{2}}=\frac{2{{x}^{2}}-4{{x}^{2}}{{\sin }^{2}}\frac{a}{2}}{2{{x}^{2}}\cos \frac{a}{2}}=\frac{\cos a}{\cos \frac{a}{2}}
Ta lại có : A’B’\bot SM , C’M \bot A’B’ suy ra A’B’ \bot (SMC’)
Từ C ta kẻ CH \bot SM \Rightarrow CH\bot (SA’B’) hay CH \bot (SAB)
Vậy thể tích của hình chóp S.ABC  là : {{\operatorname{V}}_{S.ABC}}=\frac{1}{3}.{{S}_{SAB}}.CH
       Ta có :  {{\operatorname{S}}_{SAB}}=\frac{1}{2}a.b.sin \alpha
                   \operatorname{CH}=SC.sin\widehat{MSC'}=c.\sqrt{1-\frac{co{{s}^{2}}\alpha }{co{{s}^{2}}\frac{\alpha }{2}}}=c.\sqrt{1-\frac{2co{{s}^{2}}\alpha }{1+cos\alpha }}
           
            Vậy : {{\operatorname{V}}_{S.ABC}}=\frac{1}{6}abc.sin \alpha .\sqrt{1-\frac{2co{{s}^{2}} \alpha }{1+cos\alpha }}                              (đvtt)

nguồn: THTT

Cách khác
Trên các tia BA, BC, BD lần lượt lấy các điểm A', C', D' sao cho BA'=BC'=BD'=1. Khi đó ta có
\frac{{{V_{BACD}}}}{{{V_{BA'C'D'}}}} = \frac{{BA}}{{BA'}}.\frac{{BC}}{{BC'}}.\frac{{BD}}{{BD'}} = abc
Do đó 
{V_{ABCD}} = abc.{V_{A'BC'D'}}
Do tứ diện A'BC'D' là tứ diện đều có cạnh bằng 1 nên ta có:
{V_{A'BC'D'}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}
Vậy {V_{ABCD}} = \frac{{\sqrt 2 }}{{12}}.abc








Chia sẻ
  • Share to Facebook
  • Share to Twitter
  • Share to Google+
  • Share to Stumble Upon
  • Share to Evernote
  • Share to Blogger
  • Share to Email
  • Share to Yahoo Messenger
  • More...

0 nhận xét

:) :-) :)) =)) :( :-( :(( :d :-d @-) :p :o :>) (o) [-( :-? (p) :-s (m) 8-) :-t :-b b-( :-# =p~ :-$ (b) (f) x-) (k) (h) (c) cheer

 
© 2011 ThựcHành.vn
Designed by Nguoithay.vn Cooperated with Duy Pham
Phiên bản chạy thử nghiệm
Theo dõi bài viếtTheo dõi nhận xét
Lên đầu trang