[HHKG] Tính thể tích khối chóp [lần 1]

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng a. Gọi $M, N$  lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SC$, biết $BM$ vuông góc với $AN$. Tính thể tích khối chóp $S.ABC$.

Hướng dẫn cách làm thông thường cho bạn:

Gọi $G$ là trọng tâm tam giác $SAC$.Qua $G$ kẻ đường thẳng song song với $MB$ cắt $BC$ ở $E$ theo giả thiết ta có $\widehat{EGA}=90^0$.  Đặt $\ SA=SB=SC=x$.
Ta có: $EA^2=EB^2+BA^2-2EB.BA.cos 60^0=\dfrac{7a^2}{9}$
$AN^2=\dfrac{2(a^2+x^2)-x^2}{4}=\dfrac{2a^2+x^2}{4}\Rightarrow AG^2=\dfrac{4}{9}AN^2=\dfrac{2a^2+x^2}{9}$

Vì $EG=AN$ nên ta có tam giác $EGA$ vuông cân ở $G$
Suy ra $\ EA^2=2AG^2\Rightarrow \dfrac{7a^2}{9}=\dfrac{4a^2+2x^2}{9}\Rightarrow x=\dfrac{a\sqrt{6}}{2}$

Tới đây bạn đọc tự giải

Cách toạ độ hoá

Gọi P là trung điểm BC thì A, O, P thẳng hàng và $AP \perp BC$

Đặt $SO = x, x > 0$

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho:

$P \equiv O(0;0;0), \ B(\frac{a}2;0;0) , \ C(-\frac{a}2; 0;0), \ A(0;\frac{a\sqrt3}2;0); \ S(0;\frac{a\sqrt3}6; x)$

Khi đó:

$M \left( 0;\frac{a\sqrt3}3;\frac{x}2 \right), N\left( -\frac{a}4;\frac{a\sqrt3}{12};\frac{x}{2} \right)$

$\overrightarrow{BM} = \left( \frac{-a}2; \frac{a\sqrt3}3; \frac{x}2 \right) \\ \overrightarrow{AN} = \left( \frac{-a}{4}; -\frac{5a\sqrt3}{12};\frac{x}{2} \right)$

Do đó:

$$\overrightarrow{BM} \perp \overrightarrow{AN} \Leftrightarrow x^2 = \frac{7a^2}{6} \Rightarrow x = \frac{a\sqrt{42}}6$$

Vậy thể tích khối chóp là

$$V_{S.ABC} = \frac13.SO.S_{ABC} = \frac13.\frac{a\sqrt{42}}6.\frac{a^2\sqrt3}4 = \frac{a^3\sqrt{14}}{24}\ \ (dvtt)$

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB=a. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc hợp bởi SC và mặt phẳng (SAB) bằng $60{^0}$ ; M  là trung điểm AC. Biết khoảng cách giữa SM và AB bằng $\dfrac{a\sqrt{6}} {2}$. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a

Bài này tính toán có thể nhầm. các bạn kiểm tra lại
Gọi N là hình chiếu của M lên BC thì N là trung điểm BC
Gọi H là hình chiếu của A lên MN thì AHNB là hình chữ nhật.
Gọi K là hình chiếu của A lên SH thì AK chính là khoảng cách giữa AB và SM.
Góc tạo bởi SC và mp $(SAB)$ chính là góc $\hat{BSC}$
Ta có
$$AK = \frac{a\sqrt6}2$$

Đặt $BC = 2x, x > 0$ ta có:

$$\begin{cases} AH = NB = x \\ SB = \frac{BC}{tan60^o} = \frac{2x\sqrt3}3 \end{cases}$$

Suy ra
$$SA^2 = SB^2  - AB^2 = \frac{4x^2-3a^2}{3}$$
Lại có
$$\frac1{SA^2} = \frac{1}{AK^2} - \frac1{AH^2}  = \frac{2x^2-3a^2}{3a^2x^2}$$
Do đó ta có pt
$$9a^2x^2 = (2x^2-3a^2)(4x^2-3a^2) \ \ (1)$$
Đặt $t = \frac{x^2}{a^2}, t > \frac32$ thì pt (1) trở thành
$$8t^2 - 27t + 9 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{} t = 3 \\ t = \frac38 \end{array} \right. \Rightarrow t = 3 \Rightarrow x = a\sqrt3$$

Suy ra $$\begin{cases} BC = 2a\sqrt3 \\ SA = a\sqrt3 \end{cases}$$
Vậy thể tích khối chóp $S.ABC$ là

$$V_{S.ABC} = \frac13.SA.S_{ABC} = \frac16.SA.AB.BC = \frac16.a\sqrt3.a.2a\sqrt3 = a^3\ \ (dvtt)$$

Cho hình chóp $S.ABCD$ đáy là hình thoi là hình thoi cạnh $a,SA=SB=a,SD=a\sqrt{2}$ và mặt phẳng $(SBD)$ vuông góc với $(ABCD)$.Tính thể tich khối chóp $S.ABCD$ và khoảng cách $2$ đường thẳng $AC$ và $SD$

Gọi O là tâm hình thoi.

Hạ $SI\perp BD$. Do SB<SD nên $I\in BO$
$\Rightarrow SI\perp (ABCD)$, lại có $SA=SB\Rightarrow IA=IB\Rightarrow \Delta IAB can I$
Dễ thấy $\Delta SAD\perp A\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AD\perp SA & \\  AD\perp SI& \end{matrix}\right. \Rightarrow AD\perp AI$

Ta có : $gABC+gBAI=90\Rightarrow 3gBAI=90\Rightarrow gBAI=30\Rightarrow gABC=60\Rightarrow \Delta ABC đeu$
$\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=\frac{a}{2}$
$gAIO=2gABI=60\Rightarrow AI=\frac{AO}{sin60}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$
$\Rightarrow SI=\sqrt{{SA}^{2}-{AI}^{2}}=\frac{a\sqrt{6}}{3}; dt day=AB.BC.sin60=\frac{{a}^{2}\sqrt{3}}{2} \Rightarrow V=\frac{{a}^{3}\sqrt{2}}{6}$.

+/ Ta có: $CA\perp (SBD)\Rightarrow AC\perp SD$
Hạ $OT\perp SD\Rightarrow OT=d(AC;SD)$
dễ tính được $BD=a\sqrt{3}\Rightarrow \Delta SBD\perp S\Rightarrow OT=\frac{1}{2}SB=\frac{a}{2}$