[Hình học phẳng] Bài toán liên quan tới Tam giác [lần 1]

Bài 1:Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ cho điểm $A(3;2)$, các đường thẳng:$d_1: x+y-3=0$ và: $d_2: x+y-9=0$. Tìm tọa độ điểm $B \in d_1$, và $C \in d_2$ sao cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$.

Hướng dẫn

Phân tích hướng làm: 

Để tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ khi và chỉ khi $AB=AC $và $AB$ vuông $AC$

Thiết lập điều trên ta sẽ dẫn tới giải hệ phương trình 2 ẩn, từ đó tìm ra tọa độ $B,C$.

Ta giải bài này như sau: 

Vì $B\in d_1: x+y-3=0$nên $B(b,3-b)$,Vì $C\in d_2: x+y-9=0$nên $C(c,9-c)$.

Để tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ khi và chỉ khi 

$$\begin{cases}AB=AC\\AB \perp AC\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}AB^2=AC^2\\ \overrightarrow{AB }\cdot\overrightarrow{AC}= 0 \end{cases}$$

hay 
       $(b-3)^2+(b-1)^2 =(c-3)^2+(c-7)^2$ 
và  $(b-3)(c-3)+(1-b)(7-c)=0 $

Đến đây thì bài toán đơn giản 

PS: Có thể làm cách khác dựa vào $d_1$song song $d_2$.

Bài 2 Bài 2:[/b] Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $\ Oxy$ cho $\ \Delta ABC$ có $\ M\left ( \dfrac{3}{2};\dfrac{7}{2} \right )\ , \ N\left ( \dfrac{1}{2};\dfrac{5}{2} \right )$ lần lượt là trung điểm của BC,AC và đường thẳng $\ d : \begin{cases}{x=1}\\{y=2+\dfrac{4}{3}t} \end{cases} \ , \ t \in  \mathbb R$   là đường phân giác trong của $\ \widehat{BAC}$.Lập phương trình đường tròn ngoại tiếp $\ \Delta ABC$

Hướng dẫn


Đầu tiên ta có nhận xét sau
 Cho góc $xOy$ có đường thẳng $\Delta$ là phân giác của góc $xOy$. Khi đó với mỗi điểm $M \in Ox$ thì điểm đối xứng với $M$ qua $\Delta$ sẽ thuộc $Oy$. Ta sẽ ứng dụng nhận xét trên vào bài toán.
Một điều nữa là đương thẳng: $$ \begin{cases}{x=1}\\{y=2+\dfrac{4}{3}t} \end{cases}$$ chỉ là cái hình thức thôi, thật ra nó chính là đường thẳng: $x=1$ thôi.
Ta gọi điểm $P$ là điểm đối xứng với $N$ qua đường thẳng $d$ khi đó thì điểm $P\in AB$
Việc tìm một điểm đối xứng qua một đường thẳng là công việc khá đơn giản, và ở đây ta tìm được: $P \ (\dfrac{3}{2}; \dfrac{5}{2})$
Ta có: $\overrightarrow{NM}=(1;1)$
Đường thẳng $AB$ qua $B$ và song song với đường thẳng $MN$ nên ta dễ dàng viết được phương trình đường thẳng $AB: x-y+1=0$
Tới đây ta tìm được tọa độ các điểm là: $A(1;2); C(0;3); B(3;4)$
Bước cuối:  viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác

Bài 3: Trong mặt phẳng $Oxy$ cho đường tròn [b](C)[/b]: $(x+1)^2+(y-3)^2=4$. Gọi $I$ là tâm của đường tròn. Tìm $m$ để đường thẳng:$mx-4y+3m+1=0$ cắt [b](C)[/b] tại 2 điểm phân biệt $A,B$ sao cho: $\widehat{AIB}=120^0$

Loại hình học phẳng này chúng ta khi làm thường không vẽ hình, nhưng với bài này thì việc vẽ hình ra thì chúng ta sẽ tận dụng được nhiều tính chất hình học để giải quyết bài toán nhẹ nhàng hơn.
Hẳn ai cũng biết tam giác $AIB$ là tam giác cân tại $I$, và cái đường thẳng vuông góc với $AB$, đi qua I  cũng chính là đường phân giác của góc $\widehat{AIB}$. Và ta gọi đường thẳng vuông góc với $AB$ qua I cắt $AB$ tại $H$. Ta sẽ có hai điều sau đây:
$$\widehat{HIA}=60^0; kc(I; AB)=IH$$
Theo tính chất trong tam giác thì ta sẽ có ngay: $2IH=IB$
Hay: $kc(I,AB)=\dfrac{R}{2}$
Việc giải quyết còn lại thì đơn giản

Bài 4:Trong mặt phẳng hệ tọa độ $Oxy$, cho tam giác $ABC$  với $AB=\sqrt{5}, C(-1;-1)$.Đường thẳng $AB$ có phương trình:$x+2y-3=0$, và trọng tâm tam giác $ABC$ thuộc đường thẳng:$x+y-2=0$. Tìm tọa độ 2 đỉnh $A,B.$

Hướng dẫn

Vì A, B thuộc $AB: x+2y-3=0$ Nên $A(3-2a; a)$ và $B(3-2b; b)$.
Lúc này, bài toán của mình có hai ẩn. Do đó: ta cần thiết lập hai phương trình để giải.
[*] Phương trình thứ nhất: $AB=\sqrt{5}$  hay$$(2a-2b)^2+(a-b)^2=5$$
[*] Phương trình thứ hai:
Gọi G là trọng tâm của tam giác. Khi đó: $G(\dfrac{-2a-2b+5}{3},\,\dfrac{a+b-1}{3})$. Tới đây, thay tọa độ trọng tâm vào $x+y-2=0$. Ta được phương trình thứ hai.

Bài 5: (B-07)Trong mặt phẳng tọa độ cho điểm $A(2,\,2)$ và các đường thẳng $d_1: x+y-2=0$ và $d_2: x+y-8=0$.Tìm tọa độ các điểm $B$ và $C$ lần lượt thuộc $d_1, d_2$ sao cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$

Bài toán này là bài toán hết sức cơ bản. Để giải quyết nó các bạn cần nắm chắc hai vấn đề sau:
[list][*] Điểm$\ N$ bất kì thuộc đường thẳng :$\ y=ax+b$ thì ta có thể biễu diễn nó về thành $\ N (x ; ax+b)$
[*] $\Delta ABC$ vuông cân tại $\ A$ thì ắt có $\begin{cases} AB \bot AC \\ AB =AC \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} AB=AC \\ \overrightarrow{AB}. \ \overrightarrow{AC}=0 \end{cases}$
[/list]
Bây giờ ta đi vào cụ thể bài toán:
Do $\ B  \in d_1 \ , \ C \in  d_2$ nên ta có $\ B(t \ ; \ 2-t) \ , \ C(n \ ; \ n-8)$
Theo bài  $\Delta ABC$ vuông cân tại $\ A$ nên ta có hệ phương trình : $$\begin{cases} AB \bot AC \\ AB =AC \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} AB=AC \\ \overrightarrow{AB}. \ \overrightarrow{AC}=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}(t-1)(n-4)=2 \\ (t-1)^2-(n-4)^2=3 \end{cases}$$
Tới đây các bạn có thể khéo léo trong cách tính bằng cách đặt $u = t-1 \ ; \ v =n-4$ rồi giải.
Tới đây  bạn tiếp tục .