[KSHS] Hàm bậc 3 [ lần 1]

Đây là [lần 1] của dạng bài toán KSHS hàm bậc 3.

Bài 1: Cho hàm số: $ y=x^3-6x^2+9x-4$ Tìm trên $(C)$ hai điểm $A,B $ sao cho tiếp tuyến của $(C)$ tại A và B song song với nhau đồng thời $ AB=4\sqrt{2}$

Hướng dẫn

${y}^{'}=3{x}^{2}-12x+9$

Tiếp tuyến của $(C)$ tại $A$ và $B$ song song với nhau $\Leftrightarrow {y}^{'}({x}_{A})={y}^{'}({x}_{B})$

$\Leftrightarrow 3{{x}_{A}}^{2}-12{x}_{A}=3{{x}_{B}}^{2}-12{x}_{B}$

$\Leftrightarrow ({x}_{A}-{x}_{B})({x}_{A}+{x}_{B}-4)=0$

Trường hợp ${x}_{A}={x}_{B}$ loại vì khi đó chỉ có một điểm không thỏa YCĐB.

${AB}^{2}=({{x}_{B}-{x}_{A}})^{2}+({{y}_{B}-{y}_{A}})^{2}=32$ $(2)$

Với ${x}_{A}=4-{x}_{B}$ thay vào $(2)$ ta được:

$(2{{x}_{B}}^{3}-12{{x}_{B}}^{2}+16{x}_{B})(2{{x}_{B}}^{3}-12{{x}_{B}}^{2}+20{x}_{B}-8)=0$

Từ đó tìm được tọa độ của $A$ và $B$.

Dùng viet giải nhé

Bài 2: Tìm tất cả các điểm $M$ nằm trên trục hoành, sao cho từ $M$ có thể kẻ tới đồ thị $(C): y=x^3+3x^2$ ba tiếp tuyến. Trong đó, có 2 tiếp tuyến vuông góc nhau.

Hướng dẫn:

[*]Vì $M \in Ox$ nên ta có thể giả sử $M(a,0)$.[*] Lấy điểm $A(x_0,\, x_0^3+3x_0^2) \in (C)$.[*]Phương trình tiếp tuyến tại $A$ có dạng: $(d):y=(3x_0^2+6x_0)(x-x_0)+ x_0^3+3x_0^2$.

[*]Cho $(d)$ đi qua $M$ ta được: $0=3(x_0^2+2x_0)(a-x_0)+ x_0^3+3x_0^2$

Hay $x_0[3(x_0+2)(a-x_0)+ x_0^2+3x_0]=0$

[*]Do đó, phương trình $3(x_0+2)(a-x_0)+ x_0^2+3x_0=0$ phải có 2 nghiệm phân biệt $x_1;x_2$ thỏa $(3x_1^2+6x_1)(3x_2^2+6x_2)=-1$

Tới đây dùng Viet 

Bài này, nếu thay đồ thị $(C): y=x^3+2x^2+x+3$ thì có lẽ sẽ khó hơn 

Bài 3: Cho hàm số $y=x^{3}+2mx^{2}+(m+3)x+4$ có đồ thị là $(C),$ đường thẳng $(d): y=x+4$ và điểm $K(1\, ; \,3).$  Tìm $m$ để $(d)$ cắt $(C)$ tại các điểm $A(0 \, ; \, 4), \,B, \,C$ phân biệt sao cho tam giác $KBC$ có diện tích bằng $8\sqrt{2}$

Nhận xét: Nhìn vào đề bài thấy có cái diện tích của $\Delta KBC$ nên nếu ta viết được phương trình của $BC$ ( mà cái này không cần phải viết vì đó chính là đường $(\Delta):y=x+4$ ) và tính được độ dài $BC$ thì xong  . Đó là các tư tưởng để ta đi vào bài giải 

Lời giải 

Xét phương trình tương giao : $$x^{3}+2mx^{2}+(m+3)x+4=x+4\\ \Leftrightarrow x(x^2+2mx+m+2)=0$$ Gọi $x_1;x_2$ lần lượt là hoành độ của hai điểm $B;C$ khi đó ta có ngay : $B=(x_1;4+x_1)$ và $C=(x_2;4+x_2)$.  

Do : $d_{K,(\Delta)}=\sqrt{2}$ và vì $S_{\Delta KBC}=8\sqrt{2}$

Nên  $|BC|=\sqrt{2(x_1-x_2)^2}=\sqrt{2(x_1+x_2)^2-8x_1x_2}=16\quad( * )$

Mặt khác thì : $\begin{cases} x_1+x_2=-2m\\x_1x_2=m+2\end{cases}$ vì $x_1;x_2$ là nghiệm của phương trình $x^2+2mx+m+2=0$.

Lúc này thì : $( * )$ được viết lại thành : $m^2-(m+2)=32$

Tới đâu em tự giải

Bài 4:  Cho hàm số : $y=x^3+(m+|m|)x^2-4x-4(m+|m|)\quad(C_m)$ [a]Tìm $m$ để $(C_m)$ tiếp xúc với trục hoành .[b]Tìm quỹ tích tâm đối xứng của đồ thị $(C_m)$.

Phân tích và hướng giải :

[*] Ở câu này chúng ta thấy ngay chính vì có sự xuất hiện của dấu trị tuyệt đối nên một điều tự nhiên ta sẽ các trường hợp về dấu. Và rõ ràng ranh giới  về dấu trên trục số được ngăn cách bởi "bờ đê" số $0.$ Từ đó ta có các trường hợp sau :
[*] Với $m=0$ thì hàm số đã cho trở thành : $y=x^3-4x.$
Không khó để ta thấy ngay lúc này đồ thị hàm số sẽ không tiếp xúc với trục hoành.
[*]Với $m<0.$ Lúc đó ta có $\left |m \right|=-m$ nên ta có hàm số lúc này là $y=x^3-4x.$ Và như trường hợp $m=0$ trường hợp này điều kiện bài toán không thỏa.
[*] Với $m>0.$ Lúc đó $\left|m \right|=m.$ Khi đó hàm số trở thành : $y=x^3 +2mx^2 -4x -8m.$

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số lúc này và trục hoành :$$x^3+2mx^2-4x-8m=0 \Leftrightarrow (x^2-4)(x+2m)=0 \Leftrightarrow \left [\begin {matrix}x = \pm 2 \\ x =-2m \end{matrix} \right.$$ Vậy để đồ thì hàm số tiếp xúc với trục hoành khi và chỉ khi $-2m=-2 \Leftrightarrow m=1$[/list][*] Đầu tiên ta nhớ lại ngay tâm đối xứng của đồ thị hàm số của hàm bậc ba chính là điểm uốn của đồ thị. Mặt khác hoành độ điểm uốn lại là nghiệm của phương trình $y''=0.$

Và như ý câu $1$ ta đã biết với $m \le 0$ thì hàm số đã cho trở thành $y=x^3-4x.$ Bằng cách tính $y''=0$ và vẽ đồ thị ta có $O(0;0)$ là điểm uốn của đồ thị.

Với $m >0$ ta có $y=x^3+2mx^2-4x-8m.$ Lúc đó [list][*]$y'= 3x^2 +4mx -4 ; \ y''=6x+4m$[*]$y''=0 \Leftrightarrow 6x +4m=0 \Leftrightarrow x = -\dfrac{2m}{3}.$[ Khi đó ta có tọa độ điểm uốn $I$ được xác định bởi $$\begin{cases}x_I =-\dfrac{2m}{3} \\ y_I=x_I^3 +2mx_I^2-4x_I-8m \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} m= -\dfrac{3x_I}{2} \\ y_I=x_I^3 +2mx_I^2-4x_I-8m \end{cases}$$
Khử $m$ trong hệ ta thu được $y_I=-2x_I^3+8x_I.$
Giới hạn quỹ tích : $\begin{cases} m >0 \\ m = -\dfrac{3x_I}{2} \end{cases} \Rightarrow x_I<0.$
Từ đây ta kết luận được quỹ tích điểm uốn $I$ khi $m$ thay đổi là đường cong $(G) :  y =-2x^3 +8x \quad \left (x \le 0 \right)$

Bài 5:  Tìm $m$ để hàm số sau đạt cực đại tại $x=1 :$$$y=\frac{1}{3}x^3 +mx^2 + (m^2-4)x +2$$

Cái này ta dùng điều kiện thứ 2 trong SGK để tìm cực trị :

Dễ thấy hàm số đã cho có đạo hàm liên tục đến cấp 4 . Mà với cái điều kiện cực trị ta chỉ cần tới đạo hàm cấp $2$ là ổn rồi vậy nên ta bắt tay vào phang luôn .
Lời Giải

Yêu cầu bài toán tương đương với : $y'=x^2+2mx+m^2-4$ có nghiệm $x=1$ và $y''(1) < 0$ .
Mấy câu trên có thể được viết gọn lại trong hệ sau : $$\begin{cases} \Delta '_{y'}=4>0\hspace{1cm}\forall m \\ y'(1)=m^2+2m-3=0\\ y''(1)=2+2m<0\end{cases}$$
Giải hệ trên ta được :  $\fbox{m=-3}$

Bài 6: Xác định hàm số bậc ba $y=f(x)$ biết nó có $y_{CT}=2$ khi $x=1$ và nếu lấy $f(x)$ chia cho $g(x)=x^2+2x+2$ thì còn dư 1 lượng là $-x+3$

Giả sử hàm số cần tìm có dạng $y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d$ với $a\ne 0$.

+ TXĐ: D$=\mathbb R$.
+ $y'=3ax^2+2bx+c$
+ $y"=6ax+2b$

Hàm số có $y_{CT}=2$ khi $x=1$ cho ta giả thiết sau $$\begin{cases} f(1)=2\\ y'(1)=0 \\ y"(1)>0\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} a+b+c+d=2\\ 3a+2b+c=0\\ 3a+b>0 \end{cases} $$
Hàm số chia $g(x)=x^2+2x+2$ có dư là $-x+3$. Cho ta giả thiết $$f(x)=\left(ax+\dfrac{d-3}{2}\right)(x^2+2x+2)-x+3$$
Từ đây ta có $f(1)=2=5\left(a+\dfrac{d-3}{2}\right)+2 \Leftrightarrow 2a+d=3$.
Và $f(-1)=\left(-a+\dfrac{d-3}{2}\right)+4=-a+b-c+d \Leftrightarrow 2b-2c+d=5$.
Từ đó ta có hệ phương trình 4 ẩn $$\begin{cases} a+b+c+d=2\\ 3a+2b+c=0 \\ 2a+d=3\\  2b-2c+d=5 \\ 3a+b>0 \end{cases} $$
Giải hệ này ta được $a=b=\dfrac{1}{5}, c=-1, d=\dfrac{13}{5}$.
Vậy hàm số cần tìm là $f(x)=\dfrac{1}{5}(x^3+x^2-5x+13)$.