Mũ và Logarit [ Lần 1]

[LẦN 1]

Bài 1:Giải phương trình : ${9^x} - {3^x}{\log _3}\left( {8x + 1} \right) = {\log _3}\left( {24x + 3} \right)$

Hướng dẫn
Xem cách này
 PT $\Leftrightarrow (3^x+1)(3^x-log_3(8x+1))=0$
$\Rightarrow 3^x=log_3(8x+1)\Leftrightarrow\Leftrightarrow 3^{3^x}=8x+1\overset{khao-sat}{\rightarrow}x=0 $hoặc $x=1$

Và xem cách này 

PT$ \Leftrightarrow \left({3}^{x}+1 \right)\left[{3}^{x}-1-{log}_{3} \left(8x+1 \right)\right]=0$
$\Leftrightarrow {3}^{x}-1-{log}_{3} \left(8x+1 \right)=0;$
$f(x)={3}^{x}-1-{log}_{3} \left(8x+1 \right)$
$\Rightarrow f''(x)>0\Rightarrow x=0;x=1$

Sự khác biệt và rút kinh nghiệm của em từ 2 cách là gì?

Bài 2:Giải bất phương trình :$x\left( {3{{\log }_2}x - 2} \right) > 9{\log _2}x - 2$

Hướng dẫn

 Điều kiện: $x>0$
 Bất phương trình được viết lại như sau:
      $log_2x(3x-9)>2x-2$

* Nếu: $0<x<3$ bất phương trình có dạng:
$log_2x<\frac{2x-2}{3x-9}$

Ta thấy hàm số $f(x)=log_2x $ là hàm đồng biến ;
hàm số $ g(x)=\frac{2x-2}{3x-9}$ là hàm nghịch biến vì:
$g'(x)=\frac{-12}{(3x-9)^2}$

- Vì vậy khi $0<x<1$ thì $f(x)<f(1)=0$;
$g(x)>g(1)=0$ thoả mãn BPT
Suy ra $ 0<x<1$ là nghiệm

- Khi $ 1<x<3 $ thì $ f(x)>f(1)=0 $ ;
$ g(x)<g(1)=0 $ bất phương trình vô nghiệm

* Nếu $ x>3 $ thì bất phương trình có dạng:
$ log_2x>\frac{2x-2}{3x-9}$

- Khi $ 3<x<4$ thì $ (x)<f(4)=2$ ;
$ g(x)>g(4)=2 $ Bất phương trình vô nghiệm

 - Khi $ x>4 $ thì $ f(x)>f(4)=2$ ;
$ g(x)<g(4)=2 $ bất phương trình đúng

Tóm lại nghiệm của bất phương trình là:
           $ S=(0;1)\cup (4;+\infty)$

Bài 3:  Giải bất pt: $ log^4_{2}x - log^2_{\frac{1}{2}}(\frac{x^3}{8}) + 9log_2(\frac{32}{x^2}) < 4log^2_{\frac{1}{2}}x $

Hướng dẫn
ĐK: $x>0$
PT$ \Leftrightarrow log^4_{2}x - 9log^2_{2}(\frac{x}{2}) + 9(log_{2}32 - log_{2}x^2) < 4log^2_{2}x$
$\Leftrightarrow log^4_{2}x-9(log_{2}x-1)^2+9(5-2log_{2}x)<4log^2_{2}x$
$\Leftrightarrow log^4_{2}x-13log^2_{2}x+36<0(*)\\$
Đặt $ t=log^2_{2}x$ ($ t \ge 0 $)
$ (*)\Leftrightarrow t^2 - 13t +36 <0$
$\Leftrightarrow 4<t<9 (thoa-dk)$
$\Rightarrow 4<log^2_{2}x<9$
$\Rightarrow 0<x<\frac{1}{4} -hoac- x>\frac{1}{8}\\$

Bài 4: Giải phương trình sau   ${3}^{x}.{2}^{\frac{3(2x-1)}{x+1}}=72$

Hướng dẫn

ĐK: $ x \ne -1 $
PT $ \Leftrightarrow \frac{3(2x-1)}{x+1} +log_{2}{3^x}=3+2log_{2}3$
$\Leftrightarrow 3(\frac{2x-1}{x+1}-1) +(x-2)log_{2}3=0$
$\Leftrightarrow (x-2)(\frac{3}{x+1}+log_{2}3)=0$
$\Leftrightarrow x=2$ (thoả) hoặc $x=-\frac{3}{log_{2}3}-1$(thoả) 

Bài 5: Giải phương trình sau$(x^2-4x)^{(x^2-10)}=(4-x)^{(x^2-10)}$

Hướng dẫn

TH1. Nếu $ 4-x=0<=>x=4$ là nghiệm của pt
TH2. Nếu $ x \neq 4$ phương trình => $(-x)^{x^2-10}=1=>x=-1$ hoặc $x=\pm \sqrt {10}$
Thử lại ta thấy: $x=-1$ hoặc$x=-\sqrt {10}$ thoả mãn
Vậy phương trình đã cho có nghiệm: $x=-1; x=4; x=-\sqrt {10}$

Phải nói thêm (cơ số hàm mũ dương)
Ta thấy $x=4$ pt trở thành: $0^2=0^2$ ( $0^2$) hoàn toàn xác định