Thứ Sáu, 19 tháng 10, 2012

Nguyên hàm [Lần 3]

Bài 1. Tìm nguyên hàm của $\ T= \displaystyle \int \dfrac{x \mbox{d}x}{\sqrt[3]{x+1} - \sqrt{x+1}}$

Đặt

$\sqrt[6]{x+1}=t\Rightarrow x=t^6-1 \Rightarrow dx=6t^5dt$ . Khi đó:

$\begin{aligned} T&=\displaystyle \int \dfrac{6t^5(t^6-1)dt}{t^2-t^3}\\ &=-\displaystyle \int 6t^3(t^5+t^4+t^3+t^2+t+1)dt \end{aligned}$
Đến đây công việc là rất đơn giản.

Bài 2. Tìm nguyên hàm của $\ T= \displaystyle \int \dfrac{1+sinx }{1+cosx}e^xdx$

$\ T= \displaystyle \int \dfrac{1 }{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}e^xdx + \displaystyle \int \ tan{\dfrac{x}{2} }e^xdx$

Mặt khác ta có:

$\displaystyle \int \dfrac{1 }{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}e^xdx =\displaystyle \int e^x \ d(tan\dfrac{x}{2})=e^x.tan\dfrac{x}{2}-\displaystyle \int \ tan{\dfrac{x}{2} }e^xdx$

Thay vào

$T$ ta có:

$\ T=e^x.tan\dfrac{x}{2}+C$

Bài 3. Tìm nguyên hàm của $\ I= \displaystyle \int \dfrac{\sin x-\cos x }{\sqrt[3]{\sin x+\cos x}}dx$

Ta có :

$I= \displaystyle \int \dfrac{\sin x-\cos x }{\sqrt[3]{\sin x+\cos x}}\mbox{d}x= \displaystyle \int -\dfrac{\mbox{d}(\sin x + \cos x)}{\sqrt[3]{\sin x+\cos x}}=-\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{(\sin x+ \cos x)^2}+ C$

Bài 4. Tìm nguyên hàm của $\ I= \displaystyle \int \left(\dfrac{\ln x}{x} \right)^2 \mbox{d}x$

Đặt

$\left\{\begin{matrix} u=ln^2 x & \\ v'=\dfrac{1}{x^2}& \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du=\dfrac{2}{x}ln x dx& \\ v=\dfrac{-1}{x}& \end{matrix}\right.$ Ta có:

$I=\dfrac{-\ln^2 x}{x}+\displaystyle \int \dfrac{2}{x^2}\ln xdx$
Ta tính

$I_1=\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2}\ln xdx$ . Đặt

$\left\{\begin{matrix} u_1=\ln x & \\ v_1'=\dfrac{1}{x^2}& \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} du_1=\dfrac{1}{x}d x & \\ v_1=\dfrac{-1}{x}& \end{matrix}\right.$ . Ta có :

$I_1=\dfrac{-\ln x}{x}-\dfrac{1}{x}+C_1$ .
Vậy

$I=\dfrac{-\ln^2 x}{x}-\dfrac{2\ln x}{x}-\dfrac{2}{x}+C$