Nguyên hàm [Lần 3]

Bài 1. Tìm nguyên hàm của $\ T= \displaystyle \int \dfrac{x \mbox{d}x}{\sqrt[3]{x+1} - \sqrt{x+1}}$

Đặt $\sqrt[6]{x+1}=t\Rightarrow x=t^6-1 \Rightarrow dx=6t^5dt$. Khi đó:
$$\begin{aligned}
T&=\displaystyle \int \dfrac{6t^5(t^6-1)dt}{t^2-t^3}\\
&=-\displaystyle \int 6t^3(t^5+t^4+t^3+t^2+t+1)dt
\end{aligned}$$
Đến đây công việc là rất đơn giản.

Bài 2. Tìm nguyên hàm của $\ T= \displaystyle \int \dfrac{1+sinx }{1+cosx}e^xdx$

$\ T= \displaystyle \int \dfrac{1 }{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}e^xdx + \displaystyle \int \ tan{\dfrac{x}{2} }e^xdx $

Mặt khác ta có: $ \displaystyle \int \dfrac{1 }{2\cos^{2}\dfrac{x}{2}}e^xdx =\displaystyle \int e^x \ d(tan\dfrac{x}{2})=e^x.tan\dfrac{x}{2}-\displaystyle \int \ tan{\dfrac{x}{2} }e^xdx $

Thay vào $T$ ta có: $\ T=e^x.tan\dfrac{x}{2}+C$

Bài 3. Tìm nguyên hàm của $\ I= \displaystyle \int \dfrac{\sin x-\cos x }{\sqrt[3]{\sin x+\cos x}}dx$

Ta có :$I= \displaystyle \int \dfrac{\sin x-\cos x }{\sqrt[3]{\sin x+\cos x}}\mbox{d}x= \displaystyle \int -\dfrac{\mbox{d}(\sin x + \cos x)}{\sqrt[3]{\sin x+\cos x}}=-\dfrac{3}{2}\sqrt[3]{(\sin x+ \cos x)^2}+ C$

Bài 4. Tìm nguyên hàm của $\ I= \displaystyle \int \left(\dfrac{\ln x}{x} \right)^2 \mbox{d}x$

Đặt $\left\{\begin{matrix}
u=ln^2 x & \\
 v'=\dfrac{1}{x^2}&
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du=\dfrac{2}{x}ln x dx& \\
 v=\dfrac{-1}{x}&
\end{matrix}\right.$Ta có:$I=\dfrac{-\ln^2 x}{x}+\displaystyle \int \dfrac{2}{x^2}\ln xdx$
Ta tính $I_1=\displaystyle \int \dfrac{1}{x^2}\ln xdx$.  Đặt $\left\{\begin{matrix}
u_1=\ln x & \\
 v_1'=\dfrac{1}{x^2}&
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
du_1=\dfrac{1}{x}d x & \\
 v_1=\dfrac{-1}{x}&
\end{matrix}\right.$. Ta có : $I_1=\dfrac{-\ln x}{x}-\dfrac{1}{x}+C_1$.
Vậy $I=\dfrac{-\ln^2 x}{x}-\dfrac{2\ln x}{x}-\dfrac{2}{x}+C$

Bài 5. Tìm nguyên hàm: $$I=\displaystyle \int x.e^{3x} dx$$

Đặt $u=x$ và $\text{d}v =e^{3x}\text{d}x,$ ta có $\text{d}u =\text{d}x$ và $v =\frac{e^{3x}}{3}.$ Do đó, theo công thức tính tích phân từng phần, ta có $$I =uv -\int v\text{d}u = \frac{xe^{3x}}{3} -\int \frac{e^{3x}}{3}\text{d}x =\frac{xe^{3x}}{3} -\frac{e^{3x}}{9}+ C.$$