Phương trình lượng giác cơ bản [ lần 7]

Bài 32: Giải phương trình: $$\tan x \sin^2x-2\sin^2x=3(\cos 2x+\sin x \cos x)$$

Bài toán giải như sau:
Điều kiện: $\ \cos x \neq 0  \Leftrightarrow  x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi$
Phương trình đã cho tương đương với: $$3(\cos^2x-\sin^2x)+3\sin x.\cos x+2\sin^2x-\tan x.\sin^2x =0 \Leftrightarrow 3\cos^2x+3\sin x.\cos x-\sin^2x-\tan x.\sin^2x=0 $$ $$\Leftrightarrow  3\cos x(\sin x+\cos x)-\sin^2x(\dfrac{\sin x+\cos x}{\cos x})=0  \Leftrightarrow  (\sin x+\cos x)(3\cos x-\dfrac{\sin^2x}{\cos x})=0 $$ $$ \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} \sin x+\cos x=0 \\\ 3\cos x=\dfrac{\sin^2x}{\cos x} \end{array}\right. \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} \tan x=-1 \\\ \tan^2x=3  \end{array}\right.$$ $$ \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi \\\ x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi \\\ x=-\dfrac{\pi}{3}+k\pi \end{array} \right. \mbox{(thỏa mãn)}$$
Vậy phương trình có các nghiệm như trên.

Bài 33: Giải phương trình: $$1+\sin^32x+\cos^32x=\frac{3}{2}\sin 4x$$

Ta có: $$1 = \sin^22x + \cos^22x = (\sin 2x + \cos 2x)^2 - 2\sin 2x.\cos 2x$$ Đặt $t = \sin 2x + \cos 2x =\sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi}4), |t| \leq \sqrt2$
thì $\sin 2x.\cos 2x = \dfrac{t^2-1}{2}$
Khi đó pt trở thành:$$t^3 - 2t^2 + 7t = 0 \Leftrightarrow  t = 0$$$$ cos(2x-\frac{\pi}4) = 0\Leftrightarrow  x = \frac{3\pi}8 + k\frac{\pi}2, k \in \mathbb{Z}$$

Bài 34: Giải phương trình:$$\sin^23x + 2\sin^2x +\sin^25x = 2$$

$$PT \Longleftrightarrow \dfrac{1-\cos 6x}{2}+2.\dfrac{1-\cos 2x}{2}+\dfrac{1-\cos 10x}{2}=2$$$$\Longleftrightarrow \cos 6x+2\cos 2x+\cos 10x=0$$$$\Longleftrightarrow 2.\cos 8x.\cos2x+2\cos2x=0$$$$\Longleftrightarrow  \cos2x(\cos8x-1)=0$$$$\Longleftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x = \dfrac{\pi}{4}+\dfrac{K\pi}{2} \\ x = \dfrac{\pi}{8}+\dfrac{K\pi}{4} \end{array} \right.(K \in Z)$$

Bài 35:Giải phương trình $$\sin^4{x} + \sin^4{\left( x + \dfrac{\pi}4 \right)} + \sin^4{\left( x - \dfrac{\pi}4 \right)} = \dfrac98$$

$$PT \Longleftrightarrow \left(\dfrac{1-\cos2x}{2}\right)^2+\left[\dfrac{1-\cos\left(2x+\dfrac{\pi}{2}\right)}{2}\right]^2+\left[\dfrac{1-\cos\left(2x-\dfrac{\pi}{2}\right)}{2}\right]^2=\dfrac{9}{8}$$$$\Longleftrightarrow (1-\cos2x)^2+(1+\sin2x)^2+(1-\sin2x)^2=\dfrac{9}{2}$$$$\Longleftrightarrow 1-2\cos2x+\cos^22x+1+\sin^22x+1+\sin^22x=\dfrac{9}{2}$$$$\Longleftrightarrow \cos^22x+2\cos2x-\dfrac{1}{2}=0$$$$\Longleftrightarrow \cos2x=\dfrac{-2+\sqrt{6}}{2}$$$$\Longleftrightarrow x=^+_-\dfrac{1}{2}\left(.acrcos \dfrac{-2+\sqrt{6}}{2}+K2\pi \right)(K \in Z)$$

Bài 36: Giải phương trình: $$\dfrac{\sin x-\cos x+1}{\sin x+\cos x-1}=\tan^2  \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4} \right)$$

ĐK: $ \begin{cases} x \ne \dfrac{\pi}{2}+K2\pi \\ x \ne K2\pi \end{cases} (K \in Z)$
Ta có:$$\tan^2  \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{\sin^2  \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4} \right)}{\cos^2  \left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{\pi}{4} \right)}=\dfrac{1-\cos  \left(x+\dfrac{\pi}{2} \right)}{1+\cos  \left(x+\dfrac{\pi}{2} \right)}=\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}$$Vậy:$$(1)\Longleftrightarrow \dfrac{(\sin x+1)-\cos x}{(\sin x-1)+\cos x}=\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}$$$$\Longleftrightarrow (\sin x+1).(1-\sin x)-\cos x.(1-\sin x)=(\sin x+1).(\sin x-1)+\cos x.(1+\sin x)$$$$\Longleftrightarrow 2(\sin x+1).(1-\sin x)=\cos x.(1+\sin x+1-\sin x)$$$$\Longleftrightarrow 1-\sin^2x=\cos x$$$$\Longleftrightarrow \cos^2x=\cos x.$$$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 0 \\ \cos x = 1 \end{array} \right.$$$$\Longleftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  x = \dfrac{\pi}{2}+K\pi \\  x = K2\pi \end{array} \right.(K \in Z)$$
So với điều kiện thì phương trình có nghiệm:
$x = \dfrac{\pi}{2}+K\pi$. Với: K=2m+1 ($m \in Z$)

Bài 37: Giải phương trình: $$2\sin^2x(\sin x+\cos x)=\sqrt{2}\sin 2x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin 4x$

Ta có:
$$2\sin^2x(\sin x+\cos x)=\sqrt{2}\sin 2x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin 4x$$$$\Longleftrightarrow 2\sin^2x(\sin x+\cos x)=\sqrt{2}\sin 2x-\sqrt{2}\sin 2x.\cos2x$$$$\Longleftrightarrow 2\sin^2x(\sin x+\cos x)=\sqrt{2}\sin 2x.\left(1-\cos2x\right)$$$$\Longleftrightarrow 2\sin^2x(\sin x+\cos x)=\sqrt{2}\sin 2x.\left(1-1+2\sin^2x\right)$$$$\Longleftrightarrow 2\sin^2x\left(\sin x+\cos x-\sqrt{2}\sin 2x.\right)=0$$$$\Longleftrightarrow\left[ \begin{array}{l} \sin x = 0 \\ \sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin 2x. \end{array} \right. $$$$\Longleftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x = K\pi \\ \sin\left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=\sin 2x. \end{array} \right. $$$$\Longleftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x = K\pi \\ x=\dfrac{\pi}{4}+K2\pi \\ x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2K}{3}\pi  \end{array} \right. (K \in Z)$$$$\Longleftrightarrow\left[ \begin{array}{l} x = K\pi \\ x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{2K}{3}\pi  \end{array} \right. (K \in Z)$$

Bài 38: Giải phương trình:
$\cos 4x+2\cos 2x+1=\cos x(2\cos 2x+1)$

Bài này mình đã post lâu rồi chưa thấy ai giải.Vì vậy mình xin đưa ra cách giải để các bạn cùng tham khảo
$\cos 4x+2\cos 2x+1=\cos x(2\cos 2x+1)$
$\Leftrightarrow (\cos 4x+\cos 2x)+(\cos 2x+1)=\cos x(2\cos x+1)$
Đến đây ta dễ dàng thấy phương trình có nghiệm $\cos x=0\Longleftrightarrow x=\frac{\pi }{2}+k\pi $
Và phương trình $2\cos3x-2\cos2x+2\cos x=1(1)$.
Đây chính là mấu chốt của bài toán,phương trình bậc 3 này có nghiệm khá xấu và ta rất khó để giải nó.
Thật vậy ta sẽ xét $\cos\dfrac{x}{2}=0\Longleftrightarrow \dfrac{x}{2}=\dfrac{\pi }{2}+k\pi $
$\Longleftrightarrow x=\pi +k2\pi$
Thay vào (1) ta được $-6=1(VN)$
Do đó với $\cos\frac{x}{2}\neq 0$
$(1)\Longleftrightarrow 2\cos 3x.\cos\frac{x}{2}-2\cos 2x\cos\dfrac{x} {2}+2\cos x\cos\dfrac{x}{2}=\cos\dfrac{x}{2} $
$\Longleftrightarrow  \cos\dfrac{7x}{2}+\cos\frac{5x}{2}-(cos\dfrac{5x} {2}+\cos \dfrac{3x}{2})+2\cos\dfrac{3x}{2}+\cos\dfrac{x}{2}=\cos\dfrac{x}{2}$
$\Longleftrightarrow \cos\dfrac{7x}{2}=0$
$\Longleftrightarrow\dfrac{7x}{2}=\dfrac{\pi }{2}+k\pi $
$\Longleftrightarrow x=\dfrac{\pi }{7}\dfrac{2k\pi }{7}$
Kết hợp phương trình có nghiệm
$x=\dfrac{\pi }{2}+k\pi $và $ x=\frac{\pi }{7}+\dfrac{m\pi }{7}(m\neq 6+7n)$

Bài 39: Giải phương trình: $$\dfrac{1+\cot^2 (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})}{\sin x}+\dfrac{1+\tan^2 \frac{x}{2}}{\cos x}=4(\tan x+\cot x)$$

ĐK: $\sin2x \ne 0 \Longleftrightarrow x \ne \dfrac{K\pi}{2}$
Ta có:
$$\cot^2 (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4}) =\dfrac{1+\cos(x+\frac{\pi}{2})}{1-\cos(x+\frac{\pi}{2})}=\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}$$$$\tan^2 \frac{x}{2}=\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}$$$$\tan x+\cot x=\dfrac{1}{\sin x.\cos x}$$
Vậy:
 $$\dfrac{1+\cot^2 (\frac{x}{2}+\frac{\pi}{4})}{\sin x}+\dfrac{1+\tan^2 \frac{x}{2}}{\cos x}=4(\tan x+\cot x)$$$$\Longleftrightarrow \dfrac{1+\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}}{\sin x}+\dfrac{1+\dfrac{1-\cos x}{1+\cos x}}{\cos x}=\dfrac{4}{\sin x.\cos x}$$$$\Longleftrightarrow \dfrac{2}{(1+\sin x)\sin x}+\dfrac{2}{(1+\cos x).\cos x}=\dfrac{4}{\sin x.\cos x}$$$$\Longleftrightarrow (1+\sin x)\sin x+(1+\cos x).\cos x=2(1+\sin x)(1+\cos x)$$$$\Longleftrightarrow 1+\sin x+\cos x=2(1+\sin x+\cos x+\sin x\cos x)$$$$\Longleftrightarrow 1+\sin x+\cos x+2\sin x\cos x=0$$$$\Longleftrightarrow \sin x+\cos x+(\sin x+\cos x)^2=0$$$$\Longleftrightarrow \left [\begin{array}{1} \sin x+\cos x=0 \\ \sin x+\cos x=-1 \end{array}\right.$$$$\Longleftrightarrow \left [\begin{array}{1} x=-\dfrac{\pi}{4}+K\pi\\ x=K2\pi (L)\\ x=\dfrac{\pi}{2}+K2\pi (L)\end{array}\right.$$
Vậy phương trình có nghiệm: $x=-\dfrac{\pi}{4}+K\pi$