Nguyên hàm [Lần 4]

Bài 1. Tìm nguyên hàm: $$I=\displaystyle \int x.\sin \sqrt{x}\text{d}x$$

Đặt $t=\sqrt{x}$. Khi đó $I=\displaystyle \int 2t^3.\sin t\text{d}t$

Đến đây nguyên hàm từng phần ra kết quả

Bài 2. Tìm nguyên hàm: $$I=\displaystyle \int x(1-x)^{20}\mbox{d}x$$

Đặt  $t=1-x$ ta có $dt=-dx$ và  $x=1-t$ ta có: $$I=\displaystyle \int x(1-x)^{20}\mbox{d}x=-\displaystyle \int (1-t)t^{20}\mbox{d}t=-\dfrac{t^{21}}{21}+\dfrac{t^{22}}{22}+C$$Trả laị biến là xong.

Bài 3. Tìm nguyên hàm : $$I=\displaystyle \int \dfrac{x^{2}dx}{(x\sin x+\cos x)^2}$$

Trước tiên để ý rằng: $(x\sin x+\cos x)' = x\cos x$ nên
$I=\displaystyle \int \dfrac{x.x\cos xdx}{\cos x(x\sin x+\cos x)^2}$
$= \displaystyle \int \dfrac{x}{\cos x}.(\dfrac{-1}{x\sin x + \cos x})' dx =\dfrac{x}{\cos x}.\dfrac{-1}{x\sin x + \cos x}+ \displaystyle \int \dfrac{1}{x\sin x + \cos x}(\dfrac{x}{\cos x})'dx$
Tiếp theo lại để ý rằng: $(\dfrac{x}{\cos x})' = \dfrac{\cos x + x\sin x}{\cos^2x}$ cho nên:
$I = \dfrac{x}{\cos x}.\dfrac{-1}{x\sin x + \cos x}+\displaystyle \int \dfrac{1}{\cos^2x}dx =  \dfrac{x}{\cos x}.\dfrac{-1}{x\sin x + \cos x}+\tan x + C$

Bài 4. Tìm nguyên hàm: $$I=\displaystyle \int \dfrac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x-3}\mbox{d}x$$

Ta có: $$I=\displaystyle \int \dfrac{2x+1}{x^4+2x^3+3x^2+2x-3}\mbox{d}x= \displaystyle \int \dfrac{2x+1}{(x^2+x)^2+2(x^2+x)-3} \mbox{d}x$$ Đặt: $\ u=x^2+x$, ta có: $\ du=(2x+1)dx$. Từ đó ta có: $$I=\displaystyle \int \dfrac{du}{u^2+2u-3}=\displaystyle \int \dfrac{du}{(u-1)(u+3)}$$ $$=\dfrac{1}{4} \displaystyle \int \left( \dfrac{1}{u-1}-\dfrac{1}{u+3}\right)du=\dfrac{1}{4}.\ln |\dfrac{u-1}{u+3}|+C$$ Thế lại nữa là xong

Bài 5. Tìm nguyên hàm: $$I=\displaystyle \int \dfrac{x^2.e^x}{(x+2)^2}\mbox{d}x$$

Ta có: $I=\displaystyle \int \dfrac{[x^2+4x+4-4(x+2)+4].e^x}{(x+2)^2}\mbox{d}x=\displaystyle\int e^xdx-4\displaystyle\int\dfrac{e^x}{x+2}dx + 4\displaystyle\int \dfrac{e^x}{(x+2)^2}dx$

Mặt khác: $\displaystyle\int \dfrac{e^x}{(x+2)^2}dx=-\displaystyle\int e^x d\left(\dfrac{1}{x+2}\right)=\dfrac{-e^x}{x+2}+\displaystyle\int\dfrac{e^x}{x+2}dx$

Thay vào $I$ ta có: $I=e^x+\dfrac{-4e^x}{x+2}+C$