Phương trình Logarit [Lần 1]

Bài 1. Giải phương trình $$\log_2 (x+3^{\log_6 x}) =\log_6 x.$$

Ta gọi hàm $f(x) = \log_2(x+3^{\log_6 x}) - \log_6 x$. Ta sẽ chứng minh hàm này luôn tăng trên $\left(0, \, +\infty\right)$  bằng cách tính đạo hàm của nó. Thật vậy, $$ \begin{aligned} f'(x) &= \dfrac{\left(x+3^{\log_6 x}\right)'}{\ln 2 \left(x +3^{\log_6 x}\right)} - \dfrac{1}{x \ln 6}\\ &= \dfrac{x\ln 6 + 3^{\log_6 x} \ln 3 - x\ln 2 - \ln 2 \cdot 3^{\log_6x}}{x \cdot \ln 2 \cdot \ln 6 \left(x+3^{\log_6 x}\right)} \\ & = \dfrac{x \ln 3 + 3^{\log_6 x} \cdot \ln \dfrac{3}{2} }{x \cdot \ln 2 \cdot \ln 6 \left(x+3^{\log_6x}\right)} >0 .\end{aligned}$$ Do đó, hàm $f(x)$ luôn tăng trên $\left(0, \, +\infty\right)$. Mà $f\left(\dfrac{1}{6}\right) = 0$ nên $x=\dfrac{1}{6}$ là nghiệm duy nhất của phương trình.

Bài 2. Giải phương trình: \[{\log _7}x = {\log _3}(\sqrt x  + 2)\]

Đk: $x>0$
Đặt $\log_7 x=t,\;\; t \in \mathbb{R}$ từ (1) $ \Longrightarrow \log_3{(7^{\frac{t}{2}}+2)}=t\Longrightarrow 7^{\frac{t}{2}}+2=3^t \Longleftrightarrow 7^{\frac{t}{2}}-3^t+2=0 $

Xét hàm: $\psi (t):=7^{\frac{t}{2}}-3^t+2$có $\psi'(t)=7^{\frac{t}{2}}\left(\dfrac{1}{2}\ln{7}-\left(\frac{3}{7^\frac{1}{2}}\right)^t\ln 3\right)<0$

Do $\dfrac{1}{2}\ln{7}-\left(\dfrac{3}{7^\frac{1}{2}}\right)^t\ln 3<0\;\; $
Nên $\psi(t)$là hàm nghịch biến từ đó phương trình $\psi(t)=0$ có không quá 1 nghiệm, hơn nữa $\psi(2)=0$ do đó $t=2$ là nghiệm duy nhất của phương trình hay phương trình đã cho co độc một nghiệm là $x=49.$

Bài 3. Giải phương trình sau trên $\mathbb{R^+}$ $$\log_{3}(x+2) + {5}^{{x}^{2}-1} = 2$$Điều kiện $x \ge 0$

Ta đã có: $x \ge 0$
Ta đặt: $$f(x)=\log_{3}(x+2) + {5}^{{x}^{2}-1}$$
Ta có: $$f'(x)=\dfrac{1}{(x+2).\ln 3}+2x.5^{x^2-1}. \ln 5 >0 $$
Suy phương có tối đã một nghiệm và ta thấy rằng: $x=1$ là nghiệm của phương trình.

Bài 4. Giải phuơng trình: $$\log_2\left(1+\sqrt{x}\right)=\log_3x$$

Điều kiện:$x>0$.
Đặt: $$\log_2\left(1+\sqrt{x}\right)=\log_3x=t$$
Từ đó ta có: $$\begin{cases} 1+\sqrt{x}=2^t  \\\ x=3^t \end{cases}$$
Suy ra: $$1+\sqrt{3^t}=2^t  \Leftrightarrow  \left(\dfrac{1}{2} \right)^t+\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^t=1 $$
Dễ thấy VT là một hàm số nghịch biến nên phương trình có không quá 1 nghiệm.
Mà: $t=2$ là 1 nghiệm của phương trình, suy ra: $x=9$ là nghiệm của phương trình.

Bài 5. Giải phương trình: $\log_2 (x^2+1)- \log_2 (x) = 3x^2-2x^3$

Điều kiện: $x > 0.$
Với điều kiện trên, ta có: $$\log_2 (x^2+1) - \log_2 (x) = \log_2 (\dfrac{x^2 + 1}{x}).$$ Theo AM - GM: $x^2 + 1 \geq 2x.$ Do đó, ta có đánh giá sau: $$\log_2 (x+1) - \log_2 (x) = \log_2 \dfrac{x^2+1}{x} \geq \log_2 2 = 1. (1)$$ Bây giờ, ta xét vế phải của phương trình.
Đặt $f(x) = 3x^2 - 2x^3.$ Ta có: $f'(x) = 6x(1-x).$
Xét 2 trường hợp:
[list] Trường hợp 1: $x > 1.$ Khi đó, $f'(x) < 0.$ Suy ra $f(x)$ nghịch biến khi $x >1.$ Do đó, $f(x) < f(1) = 1.$
[list] Trường hợp 2: $ 0 < x < 1.$ Khi đó, $f'(x) > 0.$ Suy ra $f(x)$ đồng biến khi $0 < x < 1.$ Do đó $f(x) < f(1).$
Tóm lại, với mọi $x \neq 1,$ ta có $3x^2 - 2x^3 < 1$ $(2)$  
Từ (1) và (2) ta có thể kết luận được nghiệm của bài toán.