Phương trình mũ [Lần 6]

Bài 1. Giải phương trình : $15x.5^x=5^{x+1}+27x+23$

Ta có phương trình đã cho tương đương với $$5^{x+1}(3x-1)=27x+23.$$ Do $5^{x+1}>0$ và $3x-1,\, 27x+23$ không đồng thời bằng $0$ nên từ đây suy ra $(3x-1)(27x+23)>0,$ tức $$x<-\frac{23}{27}\vee x> \frac{1}{3}.$$ Tiếp theo, để giải bài toán, ta sẽ viết phương trình dưới dạng $$5^{x+1} =\frac{27x+23}{3x-1} \quad (1)$$ và xét hai trường hợp:

Trường hợp $x>\frac{1}{3}$: Ta có vế trái là hàm liên tục và đồng biến trên $\mathbb R,$ trong khi đó vế phải là hàm liên tục và nghịch biến trên $\left(\frac{1}{3},\, +\infty\right)$ (do $27\cdot (-1)-23\cdot 3<0$) nên $(1)$ chỉ có thể có tối đa một nghiệm trên miền này. Mặt khác, dễ thấy $x=1$ thỏa mãn phương trình nên đây cũng là nghiệm duy nhất của $(1)$ trên miền $\left(\frac{1}{3},\, +\infty\right).$
Trường hợp $x<-\frac{23}{27}$: Lý luận tương tự như trên, vế trái là hàm liên tục và đồng biến trên $\mathbb R,$ còn vế phải là hàm liên tục và nghịch biến trên $\left(-\infty,\, -\frac{23}{27}\right)$ nên phương trình $(1)$ cũng chỉ có thể có tối đa một nghiệm trên miền này. Và do $x=-1$ thỏa mãn phương trình nên nó cũng là nghiệm duy nhất của phương trình trên miền $\left(-\infty,\, -\frac{23}{27}\right).$
Kết luận: phương trình đã cho có tất cả hai nghiệm là $x=1$ và $x=-1.$

Bài 2. Giải phương trình: $$ 4^x +(x-12).2^x +11-x =0$$

Ta viết phương trình lại dưới dạng phương trình bậc 2 của $\ 2^x$. Khi đó ta được: $$2^{2x}+(x-12)2^x+11-x=0$$ Không khó khăn để tính được: $\Delta =(x-10)^2$, suy ra: $$\left[\begin{array}{1} 2^x=1 \\\ 2^x=11-x \end{array} \right.$$

Bài 3. Giải phương trình:$${3^x} - {3^{1 - x}} - 3 + 3\sqrt {{3^{ - 2x}} - {3^{1 - x}} + 1}  = 0.$$

Ta viết lại phương trình đã cho như sau:
$$3^x-\frac{3}{3^x}-3+3\sqrt{\frac{1}{(3^x)^2}-\frac{3}{3^x}+1}=0$$
Đặt $3^x=t(t>0)$
Phương trình được viết lại thành
$$t-\frac{3}{t}-3+3\sqrt{\frac{1}{t^2}-\frac{3}{t}+1}=0$$
Đến đây chuyển vế bình phương ta được
$$t^2+\frac{45}{t}-6t-6=0$$

Bài 4. Giải phương trình \[2x+x^{2\log_{6}{2}}=3.x^{2\log_{6}{3}}\]

Điều kiện $x>0$
 Phương trình tương đương $2{{x}^{{{\log }_{6}}6}}+{{x}^{l{{o}_{6}}4}}=3.{{x}^{{{\log }_{6}}9}}$
$\Leftrightarrow {{2.6}^{{{\log }_{6}}x}}+{{4}^{{{\log }_{6}}x}}={{3.9}^{{{\log }_{6}}x}}$
$\Leftrightarrow 2.{{\left( \frac{2}{3} \right)}^{{{\log }_{6}}x}}+{{\left( {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{{{\log }_{6}}x}} \right)}^{2}}-3=0$
$\Leftrightarrow {{\left( \frac{2}{3} \right)}^{{{\log }_{6}}x}}=1$$\Leftrightarrow {{\log }_{6}}x=0\Leftrightarrow x=1$

Bài 5. Giải phương trình $$2^{x^2+2}+(x^2-1)\sqrt[3]{x^2+2}=8$$

Đặt $t=x^2+2\geq 2$ được phương trình ẩn $t$: $2^t+(t-3)\sqrt[3]{t}=8.$
Xét hàm số $f(t)=2^t+(t-3)\sqrt[3]{t}$ có đạo hàm
 $$f'(t)=2^t \ln2 + \dfrac{4t-3}{\sqrt[3]{t^2}}>0, \forall t\geq 2$$
nên hàm số đồng biến  với $t=\geq 2.$
Dễ thấy $t=3$ là nghiệm và là nghiệm duy nhất hay $x=\pm 1$ là 2 nghiệm PT đã cho.