Phương trình mũ [Lần 5]

Bài 1. Giải phương trình: $$\log (10.5^x+15.20^x)=x+\log 25$$

Ta có:
$PT \Leftrightarrow \log (10.5^x+15.20^x)=\log 10^{x}+\log 25$
$\Leftrightarrow 10.5^x+15.20^x=25.10^{x}$
$\Leftrightarrow \dfrac{10}{2^{x}}+15.2^{x}=25$
$\Leftrightarrow  15(2^{x})^{2}-25.2^{x}+10=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 2^{x} = 1 \\ 2^{x}= \dfrac{2}{3} \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 0 \\ x =1- \log_{2}3 \end{array} \right.$

Bài 2. Giải phương trình: $$x^2-x-1=x^2.e^{x+1}-(x+1)e^{x^2}$$

Dễ thấy $x=0$ và $x=-1$ thỏa mãn phương trình đã cho. Xét $x \ne 0,\, x\ne -1.$ Khi đó, ta có phương trình đã cho tương đương với $$(x+1)(e^{x^2}-1)=x^2(e^{x+1}-1),$$ hay $$\frac{e^{x^2}-1}{x^2} =\frac{e^{x+1} -1}{x+1}.$$ Phương trình này có dạng $f(x^2)=f(x+1),$ với $$f(t) =\frac{e^t -1}{t}.$$ Hàm này xác định, liên tục và có đạo hàm trên các khoảng $(-\infty,\, 0),\, (0,\, +\infty).$ Đồng thời, ta có $$f'(t) =\frac{(t-1)e^t +1}{t^2} =\frac{e^t\left[ e ^{-t}-(-t)-1\right]}{t^2} >0,\quad \forall t \ne 0$$ (vì ta có bất đẳng thức cơ bản $e^u >u+1,\, \forall u \ne 0$). Suy ra $f(t)$ là hàm liên tục và đồng biến trên các khoảng $(-\infty, 0),\, (0,\, +\infty).$ Từ đây, ta thấy rằng:
[LIST]
[*] Với $t>0,$ ta có $$f(t) > \lim\limits_{t \to 0^+} f(t) = \lim\limits_{t \to 0^+} \frac{e^t-1}{t} =1.$$
[*] Với $t<0,$ ta có $$f(t) < \lim\limits_{t \to 0^-} f(t) = \lim\limits_{t \to 0^-} \frac{e^t-1}{t} =1.$$
[/LIST]
Như vậy, do $x^2>0$ nên ta sẽ có $f(x^2)>1.$ Mà $f(x+1)=f(x^2)$ nên không thể xảy ra được khả năng $x+1<0$ (vì lúc này sẽ dẫn đến $f(x+1)<1<f(x^2),$ mâu thuẫn). Vậy ta có $x+1>0.$ Đến đây, sử dụng kết quả $f(t)$ là hàm liên tục và đồng biến trên $(0,\, +\infty),$ ta thấy rằng $f(x^2)=f(x+1)$ chỉ xảy ra khi và chỉ khi $x^2=x+1,$ tức $$x= \frac{1\pm \sqrt{5}}{2}.$$ Thử lại ta thấy hai giá trị này thỏa. Vì vậy kết luận chung cho cả bài toán là: phương trình đã cho có tất cả $4$ nghiệm là $x=0,\, x=-1,\, x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$ và $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$

Bài 3. Giải phương trình: $3^{2x}-10.3^{x-1}+1=0$

Phương trình đã cho tương đương với: $$(3^x)^2-\dfrac{10}{3}.3^x+1=0 \Leftrightarrow  (3^x-3)(3.3^x-1)=0$$

Bài 4. Giải phương trình: $$4^x-2^{x+1}=\log_2 (x+1)+x^2-x-1$$

Điều kiện $x >-1.$ Phương trình đã cho được biến đổi thành : $$x+ (2^x)^2-2.2^x = \log_{2}(x+1)+x^2-1 \Leftrightarrow \log_{2}2^x + (2^x)^2 -2.2^x= \log_{2}(x+1) + (x+1)^2-2(x+1) \quad (1)$$ Đến đây ta xét hàm số $f(t)=\log_{2}t +t^2-2t \ , \ t >0.$ Khi đó ta có $f'(t)= \dfrac{1}{t \ln 2} +2t -2.$
Theo $AM-GM$ ta có : $\dfrac{1}{t \ln 2}+2t \ge 2 \sqrt{\dfrac{2}{\ln 2}} \Rightarrow \dfrac{1}{t \ln 2}+2t -2 >0 \ \mbox{hay} \ f'(t) >0.$
Vậy hàm số $f(t)$ đồng biến với mọi $t >0.$ Do đó từ $(1)$ ta có $f(2^x)= f(x+1) \Leftrightarrow 2^x =x +1 \quad (2).$
Lại xét hàm số $g(x)=2^x -x -1 \ , \ x >-1.$ Khi đó ta có $g'(x)=2^x\ln 2 -1 \ ; \ g'(x)=0 \Leftrightarrow 2^x \ln 2 =1 \Leftrightarrow x = -\log_{2}(\ln 2) =x_0.$
Mặt khác ta có [list][*]$-1 <x <x_0 \Rightarrow g'(x) <0$[*]$x >x_0 \Rightarrow g'(x) >0$. Do đó phương trình $(2)$ có tối đa hai nghiệm. Mà $g(0)=g(1)=0$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt $x =0 \ ; \ x =1$ và đây cũng chính là nghiệm của phương trình đã cho.

Bài 5. Giải phương trình: $$4^x -(x+5)2^x+4(x+1)=0$$

Đặt $t = 2^x \ , \ t >0.$ Khi đó phương trình đã cho trở thành : $$t^2 - (x+5)t +4(x+1)=0 \quad (1)$$ Xem phương trình $(1)$ là phương trình bậc hai theo $t$ thì phương trình này có biệt số $$\Delta = (x+5)^2 - 16(x+1)=x^2-6x+9=(x-3)^2$$ Suy ra phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $$\left[\begin{matrix} t = \dfrac{x+5 +x-3}{2}=x+1 \\\\ t = \dfrac{x+5 -x +3}{2}=4 \end{matrix}\right.$$ Với $t =4 \Leftrightarrow 2^x=4 \Leftrightarrow x =2$
Với $t=x+1 \Leftrightarrow 2^x=x+1 \Leftrightarrow 2^x-x-1=0$
Xét hàm số $f(x)=2^x-x-1 \ , \ x \in \mathbb R.$ Khi đó ta có $f'(x)=2^x\ln2 -1 \ ; \ f'(x)=0 \Leftrightarrow x =-\log_{2}(\ln 2)=x_0$
Mặt khác ta có Với $x <x_0 \Rightarrow f'(x) <0$[*] Với $x >x_0 \Rightarrow f'(x) >0$ Từ đây ta suy ra phương trình $f(x)=0$ có tối đa hai nghiệm. Mà $f(0)=f(1)=0$ nên phương trình $f(x)=0$ có hai nghiệm $x=0 \ ; \ x=1.$
Tóm lại phương trình đã cho có ba nghiệm $x=0 \ ; \ x=1 \ ; \ x=2.$