Phương trình mũ [Lần 4]

Bài 1. Giải phương trình $${{2}^{3x}}-{{6.2}^{x}}-\frac{1}{{{2}^{3(x-1)}}}+\frac{12}{{{2}^{x}}}=1$$

Ta viết lại phương trình như sau:
${{2}^{3x}}-\dfrac{8}{{{2}^{3x}}}-{{6.2}^{x}}+\dfrac{12}{{{2}^{x}}}=1\Leftrightarrow(2^x)^3-(\dfrac{2}{2^x})^3-6\left(2^x-\dfrac{2}{2^x} \right)=1$hay $(2^x-\dfrac{2}{2^x})^3=1\Leftrightarrow 2^x-\dfrac{2}{2^x}=1 $.
Đặt $2^x=t>0$ ta được phương trình $t^2-t-2=0$ giải ra được $t=2$. Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=1$

Bài 2. Giải phương trình: $${27}^{x^2}=(6x^2-4x+1)\cdot 9^x.$$

Rút gọn ${9}^{x}$ rồi chuyển vế . Sau đó đặt $t=3{x}^{2}-2x$ . Ta được phương trình  ${3}^{t}-2t-1=0$
Xét đạo hàm phương trình  này chỉ có 2 nghiệm  $ \ x = 1 ; \ x=0$

Bài 3. Tìm nghiệm dương của phương trình: $$100^x + 250^x = 40^x + 6.(25^x - 4^x)^2$$

Phương trình đã cho được viết lại như sau: $100^x+10^x(25^x-4^x)-6((25^x - 4^x)^2=0$

Đặt $ a=25^x-4^x; \ b=10^x; \ a >0; \ b>0$ ta có phương trình sau:  $b^2+ab-6a^2=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{1} b=2a \\ b=-3a \end{array}\right.$

TH 1: $b=-3a$ loại do $ \ a, \ b>0$

TH 2: $b=2a$ ta có phương trình sau: $10^x=3(25^x-4^x)$. Chia 2 vế phương trình cho $ 25^x$ ta được: $3\left(\dfrac{2}{5}\right)^{2x}+\left(\dfrac{2}{5}\right)^{x}-3=0$

Giải phương trình ta có: $\left[ \begin{array}{1} \left(\dfrac{2}{5}\right)^{x}=\dfrac{-1-\sqrt{37}}{6} \ (L) \\ \left(\dfrac{2}{5}\right)^{x}=\dfrac{-1+\sqrt{37}}{6} \ (TM)\end{array}\right.$$\Rightarrow x=log_{\dfrac{2}{5}}\left(\dfrac{-1+\sqrt{37}}{6}\right)$

Kết luận: Phương trình có nghiệm duy nhất: $ x=log_{\dfrac{2}{5}}\left(\dfrac{-1+\sqrt{37}}{6}\right)$

Bài 4. Giải phương trình: $${3^{\log_4x+\dfrac{1}{3}}}+{3^{\log_4x-\dfrac{1}{3}}}=\sqrt{x}$$

Phương trình tương đương;
$$\sqrt[3]{3}x^{\log _{4}3}+\frac{x^{\log _{4}3}}{\sqrt[3]{3}}=\sqrt{x}$$
$$\Leftrightarrow x^{\log _{4}3}(\sqrt[3]{9}+1)=\sqrt[3]{3}.\sqrt{x}$$
$$\Leftrightarrow x^{\log _{4}3-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{9}+1}$$
$$\Leftrightarrow x=\sqrt[\log _{4}3-\frac{1}{2}]{\frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{9}+1}}$$

Bài 5. Giải phương trình $$4\cdot 10^x+ 4\cdot 5^x=100+25\cdot 4^x.$$

Bài toán này xét về hình thức thì ta giải nó bằng phương pháp hàm số có lẻ là thuận lợi nhất. Cụ thể ta chia hai vế phương trình cho $\ 4^x$ ta được phương trình mới $$4 \left( \dfrac{5}{2}\right)^x + 4 \left(\dfrac{5}{4} \right)^x =100 \left(\dfrac{1}{4}\right)^x+25$$ Xét hàm số $f(x)=4 \left( \dfrac{5}{2}\right)^x + 4 \left(\dfrac{5}{4} \right)^x. $ Ta có hàm số này rõ ràng đồng biến
Xét hàm số $\ g(x)=100 \left(\dfrac{1}{4}\right)^x+25.$ Ta có hàm số này nghịch biến.
Vậy nếu phương trình $\ f(x)=g(x)$ có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất. Lại có $\ f(2)=g(2)$ nên phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $\ x=2.$