Phương trình lượng giác cơ bản [ lần 3]

 Phương trình bậc nhất theo sin và cos

Bài 11 : Giải phương trình sau:$$5(\sin x+ \cos x)+\sin 3x =2\sqrt 2(2+\sin 2x)+\cos 3x$$

Xuất hiện góc 3x nên ta sẽ sử dụng công thức nhân ba:$$\begin{aligned} \sin 3x&=3\sin x-4\sin^3 x\\ \cos 3x&=4\cos^3 -3\cos x\end{aligned}$$Kết hợp hai điều trên và biến đổi phương trình như sau ta có:$$\begin{aligned} &\qquad 8(\sin x+\cos x)-4(\sin^3 x+\cos^3 x)-2\sqrt{2}(2+\sin 2x)=0\\
&\Leftrightarrow 8(\sin x+\cos x)-4(\sin x+\cos x)(1-\sin x\cos x)-2\sqrt{2}(2+\sin 2x)=0\\
&\Leftrightarrow (\sin x+\cos x) \left[ 8-4\left(1-\sin x\cos x\right) \right]-2\sqrt{2}(2+\sin 2x)=0\\
&\Leftrightarrow (\sin x+\cos x)(4+2\sin 2x)-2\sqrt{2}(2+\sin 2x)=0\\
&\Leftrightarrow 2(2+\sin 2x)\left[(\sin x+\cos x)-\sqrt{2}\right]=0\\
&\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sin 2x=-2\ (\text{vô nghiệm})\\ \sin x+\cos x=\sqrt{2}\end{array}\right.\\
&\Leftrightarrow \sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=1\\
&\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z})\end{aligned}$$Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm là: $x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi\ (k\in \mathbb{Z})$

Bài 12: Giải phương trình: $$\cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x+\sqrt{2}=0$$

Bạn xem lời giải sai chỗ nào?
Đã có dạng cơ bản rồi không biến đổi gì ta cứ theo phương pháp mà làm.
Chia hai vế cho $2$ ta được:$$\dfrac{1}{2}\cos 7x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 7x+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=0\ (\star)$$Đến đây ta cần nhớ một chút về giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt.
Không nhớ thì bấm máy tính :D. $\cos \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2};\ \sin \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{2};\ \cos \dfrac{3\pi}{4}=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$
Do đó: $$\begin{aligned} (\star)&\Leftrightarrow \cos \dfrac{\pi}{3}\cos 7x-\sin \dfrac{\pi}{3}\sin 7x=\cos \dfrac{3\pi}{4}\\
&\Leftrightarrow \cos \left(7x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos \dfrac{3\pi}{4}\\
&\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=-\dfrac{13\pi}{84}+\dfrac{k2\pi}{7}\\ x=\dfrac{5\pi}{84}+\dfrac{k2\pi}{7} \end{array}\right.\ (k\in \mathbb{Z})\end{aligned}$$

Xem nhé
 Bài toán này có xuất hiện $a\sin u + b \cos u =c$ nên ta đi đến giải quyết bài toán như sau $$\begin{aligned}\cos 7x-\sqrt{3}\sin 7x+\sqrt{2}=0&\Leftrightarrow \cos 7x - \sqrt{3}\sin 7x = -\sqrt 2 \\&\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos 7x - \dfrac{\sqrt 3}{2} \sin 7x = -\dfrac{\sqrt 2}{2}\\&\Leftrightarrow \cos 7x \cos \dfrac{\pi}{3} - \sin 7x \sin \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{\sqrt 2}{2}\\&\Leftrightarrow \cos \left(7x + \dfrac{\pi}{3} \right) = \cos \left(\dfrac{3 \pi}{4} \right)\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 7x + \dfrac{\pi}{3}=\dfrac{3 \pi}{4} + k2 \pi \\\\ 7x + \dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{3 \pi}{4} + k2 \pi \end{matrix}\right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x= \dfrac{5\pi}{84}+ k \dfrac{2 \pi}{7} \\ x = -\dfrac{13 \pi}{84} +  k \dfrac{2 \pi}{7} \end{matrix} \right. \ , \ k \in \mathbb Z \end{aligned}$$

Bài 13: Giải phương trình: $$2\cos x(\sqrt{3}\sin x+\cos x)=3$$

Nhân phân phối ra và sử dụng công thức lượng giác đưa về góc 2x ta có:
$$\begin{aligned} PT&\Leftrightarrow 2\sqrt{3}\sin x\cos x+2\cos^2 x=3\\
&\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin 2x+(1+\cos 2x)=3\\
&\Leftrightarrow \sqrt{3}\sin 2x+\cos 2x=2\\
&\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x+\dfrac{1}{2}\cos 2x=1\\
&\Leftrightarrow \sin \dfrac{\pi}{3}\sin 2x+\cos \dfrac{\pi}{3}\cos 2x=1\\
&\Leftrightarrow \cos \left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)=1\\
&\Leftrightarrow 2x-\dfrac{\pi}{3}=k2\pi\\
&\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi\ (k\in \mathbb{Z})\end{aligned}$$

Bài 14: Giải phương trình: $$\sqrt{3}(\sin 2x-\cos x)+\sin x-\cos 2x=2$$

Công phá phương trình ta được phương trình $$\begin{aligned}\sqrt{3}\sin 2x -\cos 2x + \sin x - \sqrt{3}\cos x =2&\Leftrightarrow \dfrac{\sqrt 3}{2}\sin 2x - \dfrac{1}{2} \cos 2x + \dfrac{1}{2}\sin x - \dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x =1\\&\Leftrightarrow \cos \left(2x + \dfrac{\pi}{3} \right) + \cos \left(x +\dfrac{\pi}{6} \right)=-1\\& \Leftrightarrow 2\cos^2 \left(x + \dfrac{\pi}{6} \right)+ \cos \left(x +\dfrac{\pi}{6} \right)=0\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\cos \left(x +\dfrac{\pi}{6} \right)=0 \\ 2\cos \left(x +\dfrac{\pi}{6} \right)+1=0 \end{matrix}\right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\pi}{2} + k 2 \pi \\\\ x + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{2 \pi}{3} + k 2 \pi \\\\ x + \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{2 \pi}{3} + k 2 \pi \end{matrix}\right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = \dfrac{\pi}{3} + k 2 \pi \\\\ x = \dfrac{\pi}{2} + k 2 \pi \\\\ x  = -\dfrac{5\pi}{6} + k 2 \pi \end{matrix}\right. \ , \ k \in \mathbb Z\end{aligned}$$

Bài 15 : Giải phương trình sau :$$\cos x +\sqrt 3 \sin x =3- \dfrac{1}{\cos x + \sqrt 3 \sin x +1}$$

Đặt $u=\cos x +\sqrt 3 \sin x=2\cos (x-\frac{\pi}{3})$ phương trình trở thành$u=3-\dfrac{1}{u+1}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} u(u+1)=3(u+1)-1 \\u+1 \ne 0\end{cases}$
$\Leftrightarrow \begin{cases} (u-1)^2=3 \\u \ne -1\end{cases}$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} u =1+\sqrt3 \\ u =1-\sqrt3\end{matrix}\right.$[/CENTER]
Trả về ẩn $x$ ta được
[CENTER]$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} 2\cos (x-\frac{\pi}{3}) =1+\sqrt3 >2\\  2\cos (x-\frac{\pi}{3}) =1-\sqrt3\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x =\frac{\pi}{3}+ \arccos\left(\frac{1-\sqrt3}{2}\right)+k2\pi \\  x =\frac{\pi}{3}- \arccos\left(\frac{1-\sqrt3}{2}\right)+k2\pi\end{matrix}\right. k \in \mathbb{Z}$

Để đáp án đẹp hơn sửa ĐỀ thành
$$\cos x +\sqrt 3 \sin x =3\left(1- \dfrac{1}{\cos x + \sqrt 3 \sin x +1}\right)$$