Phương trình lượng giác cơ bản [ lần 4]

Bài 16:  Giải phương trình: $$\dfrac{\cos x-2\sin x\cos x}{2\cos^2x+\sin x-1}=\sqrt{3}$$

Điều kiện: $2\cos^2 x+\sin x-1\ne0$
Phương trình đã cho tương đương với:$$\begin{aligned} \dfrac{\cos x-\sin 2x}{\sin x+\cos 2x}=\sqrt{3}&\Leftrightarrow \cos x-\sqrt{3}\sin x =\sqrt{3}\cos 2x+\sin 2x\\
&\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos 2x+\dfrac{1}{2}\sin 2x\\
&\Leftrightarrow \cos x\cos \dfrac{\pi}{3}-\sin x\sin \dfrac{\pi}{3}=\cos 2x\cos \dfrac{\pi}{6}+\sin 2x\sin \dfrac{\pi}{6}\\
&\Leftrightarrow \cos \left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)=\cos \left(2x-\dfrac{\pi}{6}\right)\\
&\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi\\ x=-\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{k2\pi}{3}\end{array}\right.\end{aligned}$$
Thế nghiệm vào điều kiện đối chiếu ta được:
$x=- \dfrac{\pi}{18} + \dfrac{k2\pi}{3}$,     $k \in \mathbb{Z} $

Bài 17: Giải phương trình: $$\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\tan x+\cot x$$

Xem sai gì trong bài này
PT đã cho tương đương:
\[2\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sin x}}{{\cos x}} + \frac{{\cos x}}{{\sin x}}\]
Ta thấy:
\[VT \in \left[ { - 2,2} \right];VP \in \left( { - \infty , - 2} \right] \cup \left[ {2, + \infty } \right)\]
$ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}VT = VP = 2\\VT = VP =- 2\end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin \left(
x +   \frac{\pi }{4}\right) =\sqrt{2} \\\sin \left( x +   \frac{\pi }{4}\right)=-\sqrt{2} \end{array} \right.$

Nhận xét và giải
Lưu ý lần sau giải cho tới đáp án cuối cùng nhé, như vậy bạn sẽ kiểm tra được kết quả của mình là đúng hay sai? 
Và cùng không biết do bạn vô tình và cũng từ việc không giải một cách thấu đáo dẫn tới lời giai trên có những lỗi sai khá nghiêm trọng.
Tôi sẽ sửa lại bằng phân tích dưới đây để bạn thấy rõ nhé!

• Cái sai thứ nhất  là không đặt điều kiện. Việc này rất nguy hiểm nếu để nó thành thói quen. Không phải tất cả các nghiệm tìm được đều thỏa mãn.
• Cái sai thứ 2 là biến đổi công thức cẩu thả: 

Chỗ này thấy như thế nào, đã phù hợp chưa?
Ta luôn có là: $|\sin x|\le 1$.
 Và  giải còn bị sai một lỗi rất nghiêm trọng nữa đó là: $\ VT=VP=2$ thì chúng ta bắt buộc phải có điều sau: $\ \begin{cases} VT=2 \\\ VP=2 \end{cases}$, chứ  không thể lấy mỗi bên $\ VT$ như trên được.  Giả sử nếu ta lấy mỗi $\ VT$ đi. Khi đó ta phương trình đúng theo cách  là: $\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4} \right)=1 \Leftrightarrow  x=\dfrac{\pi}{4}+k2\pi$.
Nếu có người không thích $\ VT$ thích lấy $\ VP$ thì ta sẽ có ngay: $\ \sin 2x=1 \Leftrightarrow  x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$.
Vậy Tôi hỏi bạn là ai đúng?
Từ đó chúng ta thấy rằng phải giải một cách cẩn thận, và mình xin lưu ý là với một bài toán dễ thì chúng ta sử dụng cái đơn giản thôi, sử dụng cái hơi cao siêu tí, biết đâu '' lợi bất cập hại'' đó.
Nếu là mình mình sẽ giải như sau:

Điều kiện: $\ \sin 2x \neq 0 \Leftrightarrow x \neq \dfrac{k\pi}{2}$
Phương trình đã cho tương đương với: $$\sqrt{2}(\sin x+\cos x)=\dfrac{1}{\sin x.\cos x}$$ Đặt: $t=\sin x+\cos x \,\ (|t| \le \sqrt{2})$. Khi đó thì: $\sin x.\cos x=\dfrac{t^2-1}{2} \,\ (t \neq 1)$. Do đó phương trình ban đầu trở thành:
$\sqrt{2}t=\dfrac{2}{t^2-1} \Rightarrow  t^3-t-\sqrt{2}=0 $
$\Leftrightarrow (t-\sqrt{2})(t^2+\sqrt{2}t+1)=0$
$ \Leftrightarrow  t=\sqrt{2} $ mbox{(Thỏa mãn) hoặc  $t^2+\sqrt{2}t+1=0 ${(Vô nghiệm)
Từ đó suy ra: $t=\sqrt{2} \Leftrightarrow \sin x+\cos x=\sqrt{2} \Leftrightarrow  \sin (x+\dfrac{\pi}{4})=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k.2\pi$
Vậy phương trình có nghiệm là: $x=\dfrac{\pi}{4}+k.2\pi$

Bài 18: Giải phương trình: $$\sqrt{3}(2\cos^2x+\cos x-2)+(3-2\cos x)\sin x=0$$ 

Để ý rằng $2\cos^2x-2=2(\cos^2x-1)=-2\sin^2x$ nên phương trình đã cho tương đương với $$\sqrt{3}( \cos x-2 \sin^2x)+(3-2\cos x)\sin x=0$$
Tới đây ta bắt đầu có cảm giác về sự liên quan giữa những con số, từ đó thử tìm cách phân tích thành tích sẽ thấy ngay phương trình trên  thực ra chính là $$(\sqrt{3}-2 \sin x)( \cos x + \sqrt{3} \sin x)=0$$ Từ đó suy ra các họ nghiệm cần tìm là $x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi, x=\dfrac{2\pi}{3}+k2\pi$ và $x=\dfrac{5\pi}{6}+k\pi$. 

Bài 19. Giải phương trình: $$\frac{\tan3x}{\tan x}= \frac{1-\cos2x}{6}$$ 

Để giải quyết tốt bài toán này, ta cần một ít tinh tế và sự nhạy cảm.  Chúng ta sẽ xử lí bài toán này
Điều kiện: $\begin{cases} \cos x \neq 0 \\\ \cos 3x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \cos 3x \neq 0 \Leftrightarrow  x \neq \dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{3}$
Ta xét biểu thức sau: $$\tan 3x-\tan x=\dfrac{\sin 3x}{\cos 3x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}=\dfrac{\sin 2x}{\cos 3x \cos x}=\dfrac{2\sin x}{\cos 3x}$$ Từ đó suy ra: $$\dfrac{\tan 3x}{\tan x}-1=\dfrac{2\sin x}{\cos 3x.\dfrac{\sin x}{\cos x}}=\dfrac{2\cos x}{\cos 3x}$$ Do đó phương trình đã cho tương đương với: $$\dfrac{2\cos x}{\cos 3x}+1=\dfrac{1-\cos 2x}{6} \Leftrightarrow 6\cos 3x+\cos 2x+2\cos x-1=0$$ $$\Leftrightarrow 8\cos^3x+\cos^2x-8\cos x-1=0 \Leftrightarrow (8\cos x+1)(\cos^2x-1)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} \cos x=-\dfrac{1}{8} \\\ \cos^2x=1 \end{array} \right.$$ [list][*] Với: $\cos x=-\dfrac{1}{8} \Leftrightarrow x=\pm \arccos \left(-\dfrac{1}{8} \right)+k2\pi$. [*]Với: $\cos^2x=1 \Leftrightarrow \sin x=0 \Leftrightarrow x=k\pi$[/list]
Thử lại thấy các nghiệm trên đều thỏa mãn. Vậy phương trình có các nghiệm như trên.