Phương trình lượng giác cơ bản [ lần 5]

Phương trình lượng giác đồng bậc.

Bài 20. Giải phương trình: $$8 \cos x = \frac{\sqrt{3}}{\sin x} + \frac{1}{\cos x}$$

Vì không thấy có lời giải nào nên mình xin giải như sau:
Điều kiện: $\begin{cases} \sin x \neq 0 \\\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \sin 2x \neq 0 \Leftrightarrow  x \neq k\dfrac{\pi}{2}$.
Quy đồng lên, phương trình đã cho tương đương với: $$8\cos^2x\sin x=\sqrt{3}\cos x+\sin x$$ Dễ thấy đây là phương trình đẳng cấp bậc 3, mà ta đã có điều kiện là: $\ \cos x \neq 0$ nên ta chia cả 2 vế cho $\ \cos^3x$ ta sẽ thu được: $$8\tan x=\sqrt{3}(\tan^2x+1)+\tan x(\tan^2x+1) \Leftrightarrow \tan^3x+\sqrt{3}\tan^2x-7\tan x+\sqrt{3}=0$$
$$\Leftrightarrow (\tan x-\sqrt{3})(\tan x-2+\sqrt{3})(\tan x+2+\sqrt{3})=0  \Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} \tan x=\sqrt{3} \\tan x=2-\sqrt{3} \\tan x=-2-\sqrt{3} \end{array}\right.$$  
$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} x=\dfrac{\pi}{3}+k\pi \\\ x=\arctan(2-\sqrt{3})+k\pi \\\ x=\arctan(-2-\sqrt{3})+k\pi  \end{array}\right.$$ Ta thấy các nghiệm trên đều thỏa mãn. Vậy phương trình có các nghiệm như trên.

Bài 21: Giải phương trình: $$\sin x-4\sin^3x+\cos x=0$$

Bài này mình post lâu rồi mà không thấy ai trả lời nhỉ! Đây là bài khá cơ bản, hoàn toàn sử dụng các kiến thức mà mình đã nói ở trên.
Ta có phương trình đã cho tương đương với: $$\sin x(\sin^2x+\cos^2x)-4\sin^3x+\cos x(\sin^2x+\cos^2x)=0 \Leftrightarrow -3\sin^3x+\sin^2x \cos x+\cos^2x \sin x+\cos^3x=0$$ [list][*] Với: $\ \cos x=0$, ta suy ra: $\ \sin x=0$, dễ thấy vô nghiệm.
[*] Với: $\ \cos x \neq 0$, ta chia cả 2 vế cho $\ \cos^3x$, ta được: $$-3\tan^3x+\tan^2x+\tan x+1=0 \Leftrightarrow  (\tan x-1)(3\tan^2x+2\tan x+1)=0$$ $$\Leftrightarrow \tan x=1 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi \,\ \mbox{(thỏa mãn)}$$
 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: $x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi$

Bài 22: Giải phương trình: $$2\cos^3x=\sin 3x$$

Hướng dẫn
$$pt \Leftrightarrow 2{\cos ^3}x = 3\sin x - 4{\sin ^3}x$$ $$\Leftrightarrow 2{\cos ^3}x - 3\sin x({\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x) + 4{\sin ^3}x = 0$$ $$\Leftrightarrow 2{\cos ^3}x - 3\sin x{\cos ^2}x + {\sin ^3}x = 0$$ Với$sinx=0$ thay vào pt được $cos x = 0$vô nghiệm
Với $sinx\ne 0$ thì pt: $$2{\cot ^3}x - 3{\cot ^2}x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cot x = \frac{{ - 1}}{2}\\ \cot x = 1\end{array} \right.$$

Bài 23:  Giải phương trình : $$\sin^2 2x-\cos^2 8x = \sin \left(\dfrac{17\pi}{2} + 10x \right)$$

$$\Leftrightarrow \dfrac{1-\cos4x}{2}-\dfrac{1+\cos16x}{2}=\cos10x$$ . $$\Leftrightarrow \cos4x + \cos16x + 2\cos10x = 0$$ . $$\Leftrightarrow 2\cos10x\cos6x+2\cos10x=0$$ . $$\Leftrightarrow \cos10x(\cos6x+1)=0 \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} \cos 10x=0 \\\ \cos 6x=-1 \end{array}\right.  \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} x=\dfrac{\pi}{20}+\dfrac{k\pi}{10} \\\ x=-\dfrac{\pi}{6}+\dfrac{k\pi}{3} \end{array}\right.$$

Bài 24: Giải phương trình: $$\sin x(1+\tan^2x)+\tan^2x=1$$

Điều kiện là $\cos x \ne 0$
Phương trình đã cho sẽ được biến đổi thành phương trình $$\begin{aligned} \dfrac{\sin x}{\cos^2 x}+ \dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=1&\Leftrightarrow \sin x + \sin^2 x =\cos^2 x \\&\Leftrightarrow \sin x + \sin^2 x =1-\sin^2 x\\&\Leftrightarrow 2\sin^2 x +\sin x-1=0\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \sin x=-1 \ \mbox{(loại)} \\ \sin x = \dfrac{1}{2} \end{matrix} \right. \\& \Rightarrow \sin x = \dfrac{1}{2}\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = \dfrac{\pi}{6}+ k 2 \pi \\\\ x= \dfrac{5\pi}{6}+ k 2 \pi \end{matrix} \right. \quad , k \in \mathbb Z \end{aligned}$$

Bài 25 : Giải phương trình : $$\dfrac{1 - \cos 4x}{2\sin 2x}= \dfrac{\sin 4x}{1+\cos 4x}$$

Điều kiện: $\ \begin{cases} \sin 2x \neq 0 \\\ \cos 4x \neq -1 \end{cases} \Leftrightarrow  \begin{cases} \sin 2x \neq 0 \\\ \cos 2x  \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow  \sin 4x \neq 0$.
Phương trình đã cho tương đương với: $$\ 1-\cos^24x=2\sin 4x.\sin 2x  \Leftrightarrow  \sin^24x=2\sin 4x.\sin 2x$$ $$\Leftrightarrow  \sin 4x(\sin 4x-2\sin 2x)=0 \Leftrightarrow 2.\sin 4x.\sin2x(\cos 2x-1)=0$$ $$\Leftrightarrow 2\sin 4x.\sin 2x.(-2\sin^2x)=0$$ Dễ thấy tất cả các nghiệm trên đều không thỏa mãn điều kiện. Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.