Phương trình lượng giác cơ bản [ lần 6]

Bài 26: Giải phương trình :$$\sin \left(2x + \dfrac{5 \pi}{2} \right) - 3\cos \left(x - \dfrac{7 \pi}{2} \right)=1 + 2\sin x  \ , \ x \in \left(\dfrac{\pi}{2} \ ; \ 2 \pi \right)$$

Ta chú ý một số công thức biến đổi sau: $$\sin \left(2x+\dfrac{5\pi}{2} \right)=\cos 2x$$ $$\cos \left(x-\dfrac{7\pi}{2} \right)=-\sin x$$ Phương trình ban đầu tương đương với: $$\cos 2x+3\sin x=1+2\sin x \Leftrightarrow 1-2\sin^2x+\sin x-1=0 \Leftrightarrow \sin x(2\sin x-1)=0$$ $$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} \sin x=0 \\\ \sin x=\dfrac{1}{2} \end{array}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} x=k\pi \\\ x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi \\\ x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right.$$ Vì: $x \in \left(\dfrac{\pi}{2} \ ; \ 2 \pi \right)$ nên ta thu được các nghiệm là: $\ x=\pi ;\,\ x=\dfrac{5\pi}{6}$.

 Bài 27: Giải phương trình: $$2\sqrt{2}\cos 2x+\sin 2x.\cos \left(x+\dfrac{3\pi}{4} \right)-4\sin \left(x+\dfrac{\pi}{4}\right)=0$$ 

Ta có 
[*] $\cos 2x =\cos^2 x-\sin^2 x=(\cos x -\sin x )(\cos x +\sin x );$
[*] $\displaystyle \cos \left( x+\frac{3\pi}{4}\right) =\cos x \cos \frac{3\pi}{4} -\sin x \sin \frac{3\pi}{4} =-\frac{\sqrt{2}}{2} (\cos x +\sin x);$
[*] $\displaystyle \sin \left( x+\frac{\pi}{4}\right) =\sin x \cos \frac{\pi}{4} +\cos x \sin \frac{\pi}{4} =\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x +\cos x).$

Do đó, phương trình đã cho có thể viết lại thành $$\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x+\cos x )\left[ 4(\cos x -\sin x )-\sin 2x -4\right] =0.$$ Mặt khác, lại thấy $$\begin{aligned} 4(\cos x -\sin x )-\sin 2x -4 &=4(\cos x -\sin x )-2\sin x\cos x-5+\cos^2 x+\sin ^2x \\&=(\cos x-\sin x)^2+4(\cos x -\sin x)-5  \\ &=(\cos x-\sin x -1)(\cos x -\sin x+5).\end{aligned}$$ Vì vậy, phương trình đã cho tương đương với $$\frac{\sqrt{2}}{2} (\sin x+\cos x )(\cos x-\sin x -1)(\cos x -\sin x+5)=0 \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} \sin x=-\cos x \\\ \sin x-\cos x=1 \\\ \cos x-\sin x=-5 \,\ \mbox{(Vô nghiệm)}\end{array}  \right. $$ $$\Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} \tan x=-1 \\\ \sin (x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \end{array} \right.  \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} x=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi \\\ x=\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \\\ x=\pi+k2\pi \end{array} \right.$$

Bài 28 : Giải phương trình : $$\cos^5 x + \sin^7 x + \dfrac{1}{2}(\cos^3 x + \sin^5 x)\sin 2x = \sin x + \cos x$$

Ta có \[{\cos ^5}x + \frac{1}{2}{\cos ^3}x\sin 2x = {\cos ^5}x + {\cos ^4}x\sin x = {\cos ^4}x(\cos x + \sin x)\] và $${\sin ^7}x + \frac{1}{2}{\sin ^5}x\sin 2x = {\sin ^7}x + {\sin ^6}x\cos x = {\sin ^6}x(\sin x + \cos x).$$ Do đó, phương trình đã cho tương đương với $$(\sin x +\cos x)(\sin^6x +\cos ^4 x -1) =0. \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} \sin x=-\cos x \\\ \sin^6x +\cos ^4 x =1 \end{array} \right.$$ [list][*] Với: $\ \sin x=-\cos x \Leftrightarrow \tan x=-1 \Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$ [*] Với: $$ \sin^6x +\cos ^4 x =1 \Leftrightarrow  \sin^6x+(1-\sin^2x)=1 \Leftrightarrow  \sin^2x(\sin^4x+\sin^2x-2)=0$$$$\Leftrightarrow \sin^2x(\sin^2x-1)(\sin^2x+2)=0  \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} \sin x=0 \\\ \sin^2x=1 \end{array} \right.  \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} x=k\pi \\\ x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \end{array} \right.$$  

Bài 29: Giải phương trình: $\sqrt{2}\left( \sin 2x-1 \right)=\dfrac{2{{\sin }^{2}}\left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)-\sin 2x}{3\cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right)+\sqrt{2}}$ 

Điều kiện: $3\cos \left( x+\frac{\pi }{4} \right)+\sqrt{2} \ne 0.$ 
Ta có
[*] $1-\sin 2x =\sin^2 x+\cos^2 x -2\sin x \cos x;$
[*] $\displaystyle 2{{\sin }^{2}}\left( x+\dfrac{\pi }{4} \right) =1-\cos \left( 2x+\frac{\pi}{2}\right) =1+\sin 2x;$
[*] $\displaystyle \cos \left( x+\dfrac{\pi }{4} \right) = \cos x \cos \frac{\pi}{4} -\sin x \sin \frac{\pi}{4} =\frac{1}{\sqrt{2}} (\cos x -\sin x).$
Do đó phương trình đã cho tương đương với $$-\sqrt{2}(\cos x -\sin x)^2 =\frac{1}{\frac{3}{\sqrt{2}}(\cos x -\sin x)+ \sqrt{2}}.$$

Bài 30 Giải phương trình: $$\dfrac{\sin^3x+\cos^3x}{\cos x-2\sin x}=\cos 2x$$ 

Lời giải
Điều kiện $\cos x -2 \sin x \ne 0 \quad (1).$
Với điều kiện $(1)$ phương trình đã cho được biến đổi thành $$\begin{aligned}(\sin x + \cos x)(1 -\sin x \cos x )=(\cos^2 x - \sin^2 x)(\cos x - 2\sin x)&\Leftrightarrow (\sin x + \cos x)(1-\sin x \cos x  -1 +3\sin x \cos x  - \sin^2 x)=0 \\&\Leftrightarrow \sin x(\sin x + \cos x )(2\cos x - \sin x)=0\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix}\sin x =0 \\ \sin x + \cos x =0 \\ 2\cos x - \sin x =0 \end{matrix} \right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \sin x =0 \\\ \tan x =-1 \\ \tan x = 2 \end{matrix} \right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = k \pi \\\\ x = -\dfrac{\pi}{4} + k \pi \\\\ x = \alpha + k \pi \end{matrix} \right. \ , \ k \in \mathbb Z \ , \ \mbox{với} \tan \alpha = 2   \end{aligned}$$ 

Bài 31: Giải phương trình: $8\sin x-\dfrac{1}{\sin x}=\dfrac{\sqrt 3}{\cos x}$ 

Điều kiện: $\ \begin{cases} \sin x \neq 0 \\\ \cos x \neq 0 \end{cases} \Leftrightarrow  \sin 2x \neq 0 \Leftrightarrow  x=\dfrac{k\pi}{2}$.
Phương trình đã cho tương đương với: $$8\sin x=\dfrac{1}{\sin x}+\dfrac{\sqrt 3}{\cos x} \Leftrightarrow  8\sin^2x \cos x=\sqrt{3}\sin x +\cos x$$ $$\Leftrightarrow  \sqrt{3}\sin^3x-7\sin^2x.\cos x+\sqrt{3}.\sin x.\cos^2x+\cos^3x=0$$ Với điều kiện ta bài toán ta chia cả 2 vế cho $\ \cos^3x$, ta thu được phương trình: $$\sqrt{3}.\tan^3x-7\tan^2x+\sqrt{3}\tan x+1=0 \Leftrightarrow (\sqrt{3} \tan x-1)(\tan^2x-2\sqrt{3}\tan x-1)=0$$ $$ \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} \tan x=\dfrac{1}{\sqrt{3}} \\\ \tan x=\sqrt{3}-2=\tan \alpha_1 \\\ \tan x=\sqrt{3}+2= \tan \alpha_2 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} x=\dfrac{\pi}{6}+k\pi \\\ x=\alpha_1+k\pi \\\ x=\alpha_2+k\pi \end{array} \right. $$ Ta thu được các nghiệm như trên. 


Cách nghĩ khác
ĐK: $ \sin 2x \ne 0 $

$$ \begin{gathered}
  PT \Leftrightarrow 8\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{{\cos x}} + \frac{1}{{\sin x}} \\
   \Leftrightarrow 8{\sin ^2}x\cos x = \sqrt 3 \sin x + \cos x \\
   \Leftrightarrow 4\left( {1 - \cos 2x} \right)\cos x = \sqrt 3 \sin x + \cos x \\
   \Leftrightarrow  - 4\cos 2x\cos x = \sqrt 3 \sin x - 3\cos x  \\
   \Leftrightarrow  - 2\left( {\cos 3x + \cos x} \right) = \sqrt 3 \sin x - 3\cos x  \\
   \Leftrightarrow 2\cos 3x = \cos x - \sqrt 3 \sin x  \\
\end{gathered} $$

Chia hai vế cho $2$ và đưa về phương trình LG cơ bản