Phương trình lượng giác cơ bản [ lần 2]

Bài 6: Giải phương trình: $$\sin^4x+\cos^4x=\dfrac{1}{2}|\sin 2x|$$

Ở bài toán này ta quan sát thấy có một công thức biến đổi khá quen thuộc sau$$\sin^4 x+\cos^4 x =1-2\sin^2x\cos^2 x= 1-\dfrac{1}{2}\sin^2 2x$$Do đó phương trình đã cho được biến đổi thành phương trình$$\begin{aligned}1-\dfrac{1}{2}\sin^2 2x=\dfrac{1}{2}|\sin 2x|&\Leftrightarrow 2-\sin^2 2x=|\sin 2x|\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \begin{cases}\sin 2x \ge 0 \\\sin^2 2x +\sin 2x -2=0 \end{cases} \\ \begin{cases} \sin 2x <0 \\ \sin^2 2x - \sin 2x -2=0 \end{cases} \end{matrix}\right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \begin{cases}\sin 2x \ge 0 \\ \left[\begin{matrix}\sin 2x =1 \\ \sin 2x =-2 \end{matrix}\right. \end{cases} \\ \begin{cases} \sin 2x <0 \\ \left[\begin{matrix} \sin 2x= -1 \\ \sin 2x =2 \end{matrix}\right. \end{cases} \end{matrix}\right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \sin 2x =1 \\ \sin 2x =-1 \end{matrix}\right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x= \dfrac{\pi}{4}+k \pi \\\\ x=-\dfrac{\pi}{4} + k \pi \end{matrix}\right. \quad , k \in \mathbb Z \end{aligned}$$Kết hợp nghiệm lại ta có nghiệm của phương trình là $\ x = \dfrac{\pi}{4} + k \dfrac{\pi}{2} \quad , k \in \mathbb Z$

Bài 7 : Giải phương trình sau :$$\dfrac{1+ \tan x}{1- \tan x}=(\sin x+ \cos x)^2$$

Ta có lởi giải như sau:
Điều kiện: $\begin{cases} \cos x \neq 0 \\\ \tan x \neq 1 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x \neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi \\\ x \neq \dfrac{\pi}{4}+k\pi  \end{cases} $
Phương trình đã cho tương đương với:
$$\dfrac{\sin x+\cos x}{\cos x-\sin x}=(\sin x+ \cos x)^2 \Leftrightarrow (\sin x+\cos x)\left( \sin x+ \cos x-\dfrac{1}{\cos x-\sin x}\right)=0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{1} \sin x+\cos x=0 \\\  \sin x+ \cos x-\dfrac{1}{\cos x-\sin x}=0 \end{array} \right.$$
[*] Với: $\sin x+\cos x=0 \Leftrightarrow  \tan x=-1 \Leftrightarrow  x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi \,\ \mbox{(thỏa mãn điều kiện)}$
[*] Với: $ \sin x+ \cos x-\dfrac{1}{\cos x-\sin x}=0  \Rightarrow \cos^2x-\sin^2x=1 \Leftrightarrow \cos 2x=1 \Leftrightarrow  x=k\pi \,\ \mbox{(thỏa mãn điều kiện.)}$
 Vậy phương trình có nghiệm là: $ x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi; x=k\pi$

Bài 8:  Giải phương trình: $$\dfrac{1-\cos x(2\cos x+1)-\sqrt{2}.\sin x}{1-\cos x}=1$$

Gợi ý
Ở bài toán này ta chỉ cần điều kiện cho $\ \cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k 2 \pi \ , \ k \in \mathbb Z.$ Khi đó phương trình đã cho trở thành$$\begin{aligned}1-2\cos^2 x -\cos x -\sqrt 2 \sin x =1- \cos x&\Leftrightarrow -2(1-\sin^2 x)-\sqrt 2 \sin x=0\\&\Leftrightarrow 2\sin^2 x -\sqrt 2 \sin x -2=0\\& \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \sin x = \sqrt 2 \  \mbox{(loại)} \\ \sin x= -\dfrac{\sqrt 2}{2} \ \mbox{(nhận)} \end{matrix}\right.\end{aligned}$$ Với $\ \sin x =-\dfrac{\sqrt 2}{2} \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = \dfrac{5\pi}{4}+k 2 \pi \\\\ x = -\dfrac{\pi}{4}+ k 2 \pi \end{matrix}\right. \ , \ k \in \mathbb Z$
Đối chiếu với điều kiện ta có nghiệm của phương trình là hai nghiệm ta tìm được ở trên

Bài 9 : Giải phương trình sau :$$4\sin x +2\cos x =2 + 3\tan x$$

Gợi ý:   Đầu tiên, ta phải chú ý đến điều kiện để phương trình có nghĩa là : $ \cos x \ne 0 $. Như một cách tự nhiên, ta sẽ quy đồng lên và ta được một phương trình thuần nhất bậc $2$ như thế này: $$ 2\cos ^2 x + 4 \sin x \cos x - 2 \cos x - 3 \sin x =0$$Và ta bắt đầu bắt nhân tử chung, nhưng xem ra việc bắt nó không phải là chuyện dễ dàng gì? Thôi thì, ta chuyển hướng khác xem. Ta thấy rằng các "góc" của $\sin \, \cos \, \tan $ đều là $x$ mà đã biết các đại lượng kia có thể được biểu diễn bởi $ \tan \dfrac{x}{2} $. Vậy tại sao ta lại không đi hướng này?
Với $t= \tan \dfrac{x}{2} ,$ ta có:  $$ \tan x = \dfrac{2 \tan \dfrac{x}{2}}{1-  \tan ^2 \dfrac{x}{2}} = \dfrac{2t}{1-t^2}$$ Và $$ \sin x = \dfrac{2t}{1+t^2} \ ; \ \cos x = \dfrac{1-t^2}{1+t^2} $$ Mang tất cả các giá trị trên vào phương trình đã cho ta được:
$$ \begin{aligned} & \quad \quad 4 \cdot \dfrac{2t}{1+t^2} +   2 \cdot \dfrac{1-t^2}{1+t^2} = 2 + 3 \cdot \dfrac{2t}{1-t^2} \\ & \Leftrightarrow (-t^2 + 4t +1 )(1-t^2) = 1- t^4 + 3t(1+t^2) \\ & \Leftrightarrow t(2t+1)(t^2 -4t + 1)=0 \\ & \Leftrightarrow t= 0 \vee t = -\dfrac{1}{2} \vee t = 2 \pm \sqrt{3} \end{aligned} $$
Ta có: [*] Với: $t= 0 \Leftrightarrow \tan \dfrac{x}{2}=0 \Leftrightarrow \sin \dfrac{x}{2}=0 \Leftrightarrow x=k2\pi$. [*] Với: $ t = -\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow \tan \dfrac{x}{2}=-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=2\arctan \left(-\dfrac{1}{2}  \right)+k2\pi$. [*] Với: $t = 2 \pm \sqrt{3} \Leftrightarrow \tan \dfrac{x}{2}= 2 \pm \sqrt{3} \Leftrightarrow x=2\arctan \left(2 \pm \sqrt{3}\right)+k2\pi.$
Kiểm tra thấy các nghiệm trên đều thỏa mãn. Vậy phương trình có các nghiệm như trên.

Xem cách khác nhé
Bài toán này  nghĩ đâu cần phải sử dụng đến  $\tan \dfrac{x}{2}$ đâu, chỉ cần biến đổi khéo léo một chút là được ngay
Thật vậy, với điều kiện $\cos x\ne 0$ thì phương trình đã cho tương đương với: $$4\sin x\cos x+2\cos^2 x=2\cos x+ 3\sin x\Leftrightarrow 4\sin x\cos x-2\cos x-2\sin^2 x-3\sin x+2=0$$$$\Leftrightarrow(2\sin x-1)(2\cos x-\sin x-2)=0 \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} \sin x=\dfrac{1}{2} \\\ 2\cos x-\sin x-2=0 \end{array} \right.$$ [list][*] Với: $ \sin x =\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} x=\dfrac{\pi}{6}+k2\pi \\\ x=\dfrac{5\pi}{6}+k2\pi \end{array} \right.$
[*] Với: $$2\cos x-\sin x-2=0 \Leftrightarrow 2(\cos x-1)=\sin x \Leftrightarrow -4\sin^2\dfrac{x}{2}=2\sin\dfrac{x}{2}.\cos\dfrac{x}{2} $$$$\Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} \sin \dfrac{x}{2}=0 \\\ \tan \dfrac{x}{2}=-\dfrac{1}{2}  \end{array} \right. \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} x=k2\pi \\\ x=2\arctan \left(-\dfrac{1}{2} \right)+k2\pi \end{array} \right.$$] Kiểm tra đối chiếu điều kiện ta thấy các nghiệm trên đều thỏa mãn.
Vậy ta có các nghiệm như trên.

Bài 10: Giải phương trình: $$\tan^2x=\dfrac{1+\cos x}{1+\sin x}$$

Ở bài toán này bước đặt điều kiện là khá lý thú ta chú ý rằng nếu theo thông thường do sự xuất hiện của $\ \tan x$ nên với nhiều bạn thì điều kiện các bạn đưa ra thường là $$\begin{cases}\cos x \ne 0 \\ \sin x \ne -1 \end{cases}$$Nhưng thực sự điều đó là không cần thiết vì ta nên nhớ rằng xuất phát từ công thức quen thuộc $$\sin^2 x + \cos^2 x =1$$Nên khi ta có $\ \cos x \ne 0$ thì ta đã có được $\ \sin x \ne \pm 1.$ Vì vậy các bạn hãy lưu ý điều này để ta có được lời giải đủ mạnh và đẹp. Quay lại bài toán ta đang xét qua phân tích ta thấy ngay bài toán này có điều kiện là $\ \cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne  \dfrac{\pi}{2}+ k \pi \ , \ k \in \mathbb Z.$
Và một điều nữa các bạn cũng cần tích lũy đó là khi bài toán cho $\ tan^2 x$ điều này cũng có nghĩa là ta có hai đại lượng $\ 1+ \cos x \ ; \ 1 - \sin x$ nên qua đánh giá này ta đi giải bài toán đã cho trở nên nhẹ nhàng. Thật vậy phương trình đã cho biến đổi thành$$\begin{aligned}\dfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x}=\dfrac{1+\cos x}{1+\sin x}&\Leftrightarrow \dfrac{1- \cos^2 x}{1-\sin^2 x}=\dfrac{1+\cos x}{1+\sin x}\\&\Leftrightarrow \dfrac{(1-\cos x)(1+\cos x)}{(1-\sin x)(1+\sin x)}=\dfrac{1+\cos x}{1+\sin x}\\&\Leftrightarrow (1-\cos x)(1+\cos x)=(1+\cos x)(1-\sin x)\\&\Leftrightarrow (1+\cos x)(\sin x - \cos x)=0\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \cos x +1=0 \\ \sin x - \cos x =0 \end{matrix} \right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \cos x =-1 \\ \sin x = \cos x \end{matrix} \right.\\&\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x = \pi +k 2 \pi \\ \ x =\dfrac{\pi}{4} + k \pi  \end{matrix} \right. \ , \ k \in \mathbb Z \end{aligned}$$Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của phương trình là nghiệm ở trên