Phương trình lượng giác cơ bản [ lần 1]

Bài 1: Giải phương trình:(D:2004): $$(2.\cos x-1)(2\sin x+\cos x)=\sin 2x-\sin x \,\ (1)$$

Hướng dẫn và giải:
Nhìn vào hình thức bài toán ta thấy khá đơn giản, quan sát 2 vế ta thấy rằng ở $\ VP$ có: $$\ sin 2x-\sin x=2\sin x.\cos x-\sin x=\sin x(2\cos x-1)$$ Mà ở $\ VT$ ta cũng có : $\ 2\cos x-1$ từ đó hướng chúng ta tới việc đưa về phương trình tích để giải quyết. Ta có lời giải như sau:
Phương trình $\ (1)$ tương đương với: $$(2.\cos x-1)(2\sin x+\cos x)=\sin x(2\cos x-1) \Leftrightarrow (2.\cos x-1)\left[(2\sin x+\cos x)- \sin x \right]=0$$ $$ \Leftrightarrow (2.\cos x-1)(\sin x+\cos x)=0  \Leftrightarrow \left[\begin{array}{1} 2.\cos x-1=0 \\\ \sin x+\cos x=0 \end{array}\right.$$
[list][*]Với: $2.\cos x-1=0 \Leftrightarrow  \cos x=\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi \\\ x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi \end{array}\right.$
[*] Với: $\sin x+\cos x=0 \Leftrightarrow  \tan x=-1 \Leftrightarrow  x=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi.$
Vậy phương trình $\ (1)$ có các nghiệm: $ x=\dfrac{\pi}{3}+k2\pi; x=-\dfrac{\pi}{3}+k2\pi; x=-\dfrac{\pi}{4}+k2\pi.$[/list]
Một ví dụ cơ bản, chú ý cách trình bày nhé các bạn.

Bài 2: Giải phương trình: $$\sin^2x+\sin^23x=\cos^22x+\cos^24x$$

Sử dụng công thức hạ bậc ta viết phuơng trình lại dưới dạng:$$\dfrac{1}{2}\left(1-\cos 2x\right)+\dfrac{1}{2}\left(1-\cos 6x\right)=\dfrac{1}{2}\left(1+\cos 4x\right)+\dfrac{1}{2}\left(1+\cos 8x\right)\ (\star)$$
Sự xuất hiện các góc $2x;\ 4x;\ 6x;\ 8x$ gợi ta nhóm lại và sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích. Ta làm như sau:$$\begin{aligned} (\star) &\Leftrightarrow \left(\cos 4x+\cos 6x\right)+\left(\cos 2x+\cos 8x\right)=0\\
&\Leftrightarrow 2\cos 5x\cos x+2\cos 5x\cos 3x=0\\
&\Leftrightarrow \cos 5x\left(\cos x+\cos 3x\right)=0\end{aligned}$$ $$ \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} \cos 5x=0 \\\ \cos 3x=-\cos x \end{array} \right.$$ [list][*] Với: $\cos 5x=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{k\pi}{5}$. [*] Với: $\cos 5x=-\cos x  \Leftrightarrow \cos 3x=\cos (\pi-x)   \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2} \\\ x=-\dfrac{\pi}{2}+k\pi \end{array} \right.$
Vậy phương trình có các nghiệm như trên.

Bài3: Giải phương trình: $$\sin^3x\cos 3x+\cos^3x\sin 3x=\sin^34x$$

Với phương trình này việc xuất hiện mũ $\ 3$ và cung $\ 3x$ ở bên vế trái phương trình giúp ta nhớ lại công thức biến đổi nhân ba như sau$$\cos 3x=4\cos^3x-3\cos x \ ; \ \sin 3x=3\sin x - 4\sin^3 x$$Từ đây phương trình đã cho sẽ trở thành $$\left(\dfrac{3\sin x - \sin 3x}{4}\right)\cos 3x + \left(\dfrac{\cos 3x+3\cos x}{4}\right)\sin 3x= \sin^3 4x$$$$\Leftrightarrow 3\sin x \cos 3x - \sin 3x \cos 3x + \sin 3x \cos 3x +3\cos x \sin 3x =4\sin^3 4x$$$$\Leftrightarrow 3\left(\sin x \cos 3x + \cos x \sin 3x \right)=4\sin^3 4x \Leftrightarrow 3\sin 4x = 4\sin^3 4x$$$$\Leftrightarrow \sin 4x \left(4\sin^2 4x -3 \right)=0 \Leftrightarrow \sin 4x \left(4 \left(\dfrac{1- \cos 8x}{2}\right) -3 \right)=0 \Leftrightarrow \sin 4x \left(2\cos 8x +1 \right)=0$$$$\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} \sin 4x =0 \\ \cos 8x =-\dfrac{1}{2} \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}4x= k \pi \\ 8x = \pm \dfrac{2\pi}{3}+k 2 \pi \end{matrix} \right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x= k\dfrac{\pi}{4} \\ x= \pm \dfrac{\pi}{12} + k\dfrac{\pi}{4}\end{matrix}\right. \quad , k \in \mathbb Z$$

Bài 4:   Giải phương trình sau : $$\cos x + \sin x= \dfrac{\cos 2x}{1-\sin 2x}$$

Hãy tìm chỗ sai trong bài này

Điều kiện  $1-\sin 2x \neq 0 \Leftrightarrow x\neq \dfrac{-\pi}{4} + k\pi$
Phương trình trở thành $$\cos x + \sin x= \dfrac{(\cos x +\sin x)(\cos x-\sin x)}{(\sin x+ \cos x)^2}\Leftrightarrow \cos x + \sin x= \dfrac{\cos x-\sin x}{\sin x+cos x} $$ $$\Leftrightarrow (\cos x + \sin x)^2=\cos x-\sin x \Leftrightarrow (\cos x - \sin x)^2+4\sin x.\cos x =\cos x - \sin x. $$
Đặt $\cos x - \sin x =t .$ Điều kiện $|t| \leq  \sqrt{2 }.$
Khi đó được  phương trình :$$t^2+2.(1-t^2)=t \Leftrightarrow (t-1)(t+2)=0 \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t=1\\t=-2 (L)\end{matrix}\right. \quad $$ Với $t=1$ ,ta có: $$\cos x - \sin x =1\Leftrightarrow \sin (x-\dfrac{\pi}{4})=-\dfrac{1}{\sqrt{2 }} \Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x= \dfrac{3\pi}{2}+k2\pi \\ x=  k 2\pi\end{matrix}\right. \quad , k \in \mathbb Z$$
Vậy phương trình đã cho có các nghiệm như trên

Chỗ sai có được sửa lại trong cụm này không

Ta có:$$\cos x-\sin x=1 \Leftrightarrow \sin \left(x-\dfrac{\pi}{4} \right)=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}$$
 Một sai sót hết sức cơ bản, vì vậy chúng ta cần phải nắm thật vững các công thức thì mới tránh được các sai lầm không đáng có như trên.

Lời giải đúng rút kinh nghiệm

Mình xin giải bài này như sau:
Điều kiện: $\sin 2x \neq 1$
Phương trình đã cho tương đương với: $$\cos x+\sin x=\dfrac{(\cos x+\sin x)(\cos x-\sin x)}{(\cos x-\sin x)^2} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}\cos x+\sin x=0 \\\ \cos x-\sin x=1\end{array}\right.$$[list][*]Với: $\ \cos x+\sin x=0  \Leftrightarrow \tan x=-1 \Leftrightarrow x=-\dfrac{\pi}{4}+k\pi$
[*]Với: $\  \cos x-\sin x=1\Leftrightarrow \cos \left(x+\dfrac{\pi}{4} \right)=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{1}x=k2\pi \\\ x=-\dfrac{\pi}{2}+k2\pi \end{array} \right.$[/list]
Đối chiếu điều kiện ta thấy các nghiệm đều thỏa mãn.
Vậy phương trình có các nghiệm như trên

Bài 5:  Giải phương trình: $$\sin 2x(\tan x+\cot x)=4\cos^2x$$

Điều kiện: $\begin{cases} \sin x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{cases} \Leftrightarrow \sin 2x\ne0$
Ta thực hiện biến đổi phuơng trình như sau:$$\begin{aligned} PT&\Leftrightarrow \sin 2x\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}+\dfrac{\cos x}{\sin x}\right)=2\left(1+\cos 2x\right)\\
&\Leftrightarrow \sin 2x\dfrac{1}{\sin x\cos x}=2\left(1+\cos 2x\right)\\
&\Leftrightarrow \sin 2x\dfrac{2}{\sin 2x}=2\left(1+\cos 2x\right)\\
&\Leftrightarrow \cos 2x=0\ (\text{thỏa $\sin 2x\ne0$})\\
&\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\ (k\in \mathbb{Z})\end{aligned}$$Vậy phuơng trình đã cho có họ nghiệm là: $x=\dfrac{\pi}{4}+\dfrac{k\pi}{2}\ (k\in \mathbb{Z})$