Tích phân lượng giác [Lần 1]

Bài 1. Tính tích phân: $$I = \int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{\cos \left( {\frac{\pi }{4} - x} \right)}}{{4 - 3{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm in2}x}}} dx$$

 Lời giải
$$I=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\displaystyle\int_0^{\dfrac{\pi}{4}}\dfrac{sinx+cosx}{1+3(sinx-cosx)^2}dx$$
$$=\dfrac{\sqrt{2}}{12}ln({1+3(sinx-cosx)^2})$$

Bài 2. Tính tích phân: $$I=\int\limits_0^{\frac{\pi }{6}} {{\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm an2}x\left( {\tan ^4 x - 1} \right)} dx$$

 Lời giải: 
Ta có :
$I=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{2sinx.cosx}{2cos^2x-1}.(tan^2x-1)(tan^2x+1)dx$
$=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}\dfrac{-2tanx}{cos^2x}dx$
$=\displaystyle\int_{0}^{\dfrac{\pi}{6}}-2tanxd(tanx)=-tan^2x/$

Bài 3. Tính tích phân: $$I=\int_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\frac{x(1+\cos x)}{\sin x(x+\sin x)}}dx$$

Ta có $$\frac{x(1+\cos x)}{\sin x(x+\sin x)}=\frac{(x+\sin x-\sin x)(1+\cos x)}{\sin x(x+\sin x)}=\frac{1+\cos x}{\sin x}-\frac{1+\cos x}{x+\sin x}$$ Tiếp theo ta để ý $$\frac{1+\cos x}{\sin x}=\frac{\cos \frac{x}{2}}{\sin \frac{x}{2}},\ \quad \text{d}(x+\sin x)=(1+\cos x)\text{d}x$$ Với phân tích trên các bạn sẽ chỉ phải tính những tích phân rất đơn giản, phần này các bạn tự hoàn thiện

Bài 4. Tính nguyên hàm : $$\int\frac{\sin xdx}{\sqrt{2+\sin 2x}}$$

Ta có:
$$I_{1}+I_{2}=\int\frac{d(\sin x-\cos x)}{\sqrt{3-(\sin x-\cos x)^2}}=\arcsin{\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{3}}}+C_{1}$$
$$I_{2}-I_{1}=\int\frac{d(\sin x+\cos x)}{\sqrt{1+(\sin x+\cos x)^2}}=ln(\sin x+\cos x+\sqrt{(\sin x+\cos x)^2+1})+C_{2}$$
$$\rightarrow I_{1}=\frac{1}{2}(\arcsin{\frac{\sin x-\cos x}{\sqrt{3}}}-ln(\sin x+\cos x+\sqrt{(\sin x+\cos x)^2+1}))+C$$

Bài 5. Tính tích phân: $$I=\int\limits_0^\frac{\pi}{3} {\frac{\sin x(x+1)}{\cos^3 x}} dx$$

Ta có: $$\int\limits_0^\frac{\pi}{3} {\frac{\sin x(x+1)}{\cos^3 x}} dx$$$$=-\int\limits_0^\frac{\pi}{3} {\frac{(x+1)}{\cos^3 x}} d\cos x$$$$=\dfrac{1}{2}\int\limits_0^\frac{\pi}{3} (x+1) d\dfrac{1}{\cos^2 x}$$$$=\dfrac{x+1}{2\cos^2x} \bigg|_0^\frac{\pi}{3} -\dfrac{1}{2}\int\limits_0^\frac{\pi}{3} \dfrac{1}{\cos^2 x}dx$$$$=\dfrac{x+1}{2\cos^2x} -\dfrac{\tan x}{2}\bigg|_0^\frac{\pi}{3} $$