Hàm số : $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ [ LẦN 4]

Bài 16: Cho hàm số $y=\dfrac{2x+3}{x+2} $  $(1)$.1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(1)$.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(1)$, biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại $M, N$ sao cho trọng tâm tam giác $OMN$ thuộc đường thẳng $x+9y=0$.

Hướng dẫn

Gọi $M(m;0); N(0;n)$. Hiển nhiên ta có $\ m,n$ khác $\ 0$.
Khi đó trọng tâm tam giác $\ OMN$ là $\ G(\dfrac{m}{3};\dfrac{n}{3})$.
Vì $G$ thuộc đường thẳng  $x+9y=0$ nên có $m+9n=0$.
Từ đó lập được phương trình $MN$: $x-9y=-9m$
Điều kiện $MN$ là tiếp tuyến của đồ thị ta tìm được phương trình tiếp tuyến.

Bài 17: Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-1}$  $\left( C \right)$ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left( C \right)$của hàm số đã cho.2. Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để đường thẳng $\left( d \right):y=-x+m$ cắt đồ thị $\left( C \right)$ tại 2 điểm phân biệt $A,B$ sao cho $O{{A}^{2}}+O{{B}^{2}}=18$

Hướng dẫn
Phương trình hoành đô giao điểm ==> pt bậc 2  (*)
Gọi $A({x}_{1};-{x}_{1}+m)$ và $B({x}_{2};-{x}_{2}+m)$
$x_1$ và $x_2$ là nghiệm của pt (*)
Ta có $$OA^2+OB^2={x}_{1}^2+(m-{x}_{1})^2+{x}_{2}^2+(m-{x}_{2})^2=18$$
Đến đây các bạn khai triển ra và sử dụng hệ thức Viet

Bài 18. Cho hàm số  $y=\frac{-x+m}{x+2}$ có đồ thị là $({C}_{m})$ với $m$ là tham số thực. Tìm các giá trị của m để đường thẳng $(d):y=-x+\frac{1}{2}$ cắt đồ thị $({C}_{m})$ tại hai điểm phân biệt $A, \, B$ sao cho tam giác $OAB$ có diện tích bằng $\frac{3}{8},$ với $O$ là gốc tọa độ

Ta có độ dài đường cao của tam giác là : $d_{(O;(d)}=\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$.
Vậy nên để $\Delta AOB$ có diện tích là $\dfrac{3}{8}$ thì $|\overrightarrow{AB}|=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$.
Hoành độ của 2 điểm $A;B$ là nghiệm của phương trình : $\dfrac{-x+m}{x+2}=x+\dfrac{1}{2}$ .
Đến đây bạn xử lý nốt nhé . Lúc tính tung độ thì ta không thay lại vào phương trình của $(C_m)$ mà thay vào phương trình của $(d)$

Bài 19: Cho hàm số:  $y=\frac{-x+m}{x+2} \, (C_m)$.Tìm các giá trị của $m$ để đường thẳng  $d:2x + 2y - 1 = 0$ cắt $(C_m)$ tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho $\bigtriangleup OAB$ có diện tích bằng $1$ ( $O$ là gốc tọa độ)

Hướng dẫn

Bài này theo ta  sẽ làm như sau:
Ban đầu ta sẽ tính khoảng cách từ $O$ đến đường thẳng $d$.Đây cũng chính là chiều cao của tam giác $OAB$.Từ đây ta sẽ tính được độ dài AB
Đường thẳng $(d)$ được viết lại như sau $y=\dfrac{1}{2}-x$
Phương trình hoành độ giao điểm giữa đường thẳng d và đồ thị là
$$-x+m=(x+2)(\frac{1}{2}-x)$$
$$\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{2}x+m-1=0$$
Đến đây bạn tìm điều kiện để phương trình trên có 2 nghiệm phân biệt
Sau đó bạn đọc gọi $A({x}_{1};{y}_{1})$ và $B({x}_{2};{y}_{2})$.Chỗ tung độ các điểm các bạn lưu ý là nên thay vào phương trình đường thẳng để tính



Ta sẽ tính dựa vào công thức tính khoảng cách (giống trong hình học phẳng)

Ghi chú thêm
$S=\dfrac{1}{2}h.AB$.Trong đó h là chiều cao của tam giác $OAB$ cũng chính là khoảng cách từ điểm $O$ đến đường thẳng $AB$.Từ đây ta sẽ tính được độ dài của $AB$

Bài 20:  Cho hàm số $y=\dfrac{x}{x-1}$ có đồ thị $(C).$[LIST=1][*] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số đã cho.[*] Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị $(C),$ biết rằng khoảng cách từ tâm đối xứng của $(C)$ đến tiếp tuyến là lớn nhất

Hướng dẫn

Ta dễ dàng xác định được tâm đối xứng $\ I(1;1)$.
Gọi tọa độ điểm $\ M \left(x_0; \dfrac{x_0}{x_0-1} \right)$, từ đó ta dễ dàng viết được phương trình tiếp tuyến tại $\ M$ là $\ \Delta$: $$\dfrac{x-x_0}{(x_0-1)^2}+y-\dfrac{x_0}{x_0-1}=0$$ Ta có: $$d(M; \Delta)=\dfrac{|\dfrac{1-x_0}{(x_0-1)^2}+1-\dfrac{x_0}{x_0-1}|}{\sqrt{1+\dfrac{1}{(x_0-1)^4}}}$$ $$=\dfrac{2}{\sqrt{(x_0-1)^2+\dfrac{1}{(x_0-1)^2}}} \le \sqrt{2}$$ Dấu $\ ''=''$ xảy ra khi: $\ (x_0-1)^2=1 \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} x_0=0 \\\ x_0=2 \end{array} \right.$
Từ đó suy ra có hai điểm $\ M$ thỏa mãn là: $\ (0;0); (2;2)$

Bài làm thêm: Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x-1}$ có đồ thị $(C).$
Gọi $I$ là giao điểm hai đường tiệm cận. Tìm các giá trị của $m$ để đường thẳng $(d):y=-x+m$ cắt  $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A, \ B$ sao cho tam giác $IAB$ đều.