Hàm số : $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ [ LẦN 3]

Bài 11: Cho hàm số: $y=\frac{2x+3}{x-1} \quad (C)$ [*]Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số trên.[*] Tìm $m$ để đồ thị (C) cắt đường thẳng $2x-y+m=0$ tại hai điểm A,B phân biệt sao cho độ dài AB nhỏ nhất.

Hướng dẫn

Ta viết lại phương trình đường thẳng như sau: $y=2x+m$
Phương trình hoành độ giao điểm là:
$$\frac{2x+3}{x-1}=2x+m$$
$$\Leftrightarrow 2x^2+x(m-4)-m-3=0$$
Gọi $A(a;\frac{2a+3}{a-1})$ và $B(b;\frac{2b+3}{b-1})$
Ta có độ dài đoạn $AB$ sẽ là:
$$AB=\sqrt{(a-b)^2+(\frac{2a+3}{a-1}-\frac{2b+3}{b-1})^2}$$
Do $a;b$ là nghiệm của hệ phương trình nên theo hệ thức Viet thì
$$\left\{\begin{matrix}  a+b=\frac{4-m}{2} \\  ab=\frac{-m-3}{2} \end{matrix}\right.$$
Đến đây các bạn dùng viet để thay vào phương trình

Bài 12: Cho $(C) : y=\dfrac{2x + 1}{x + 1}.$ Viết phương trình đường thằng qua $M(1;3)$ cắt $(C)$ sao cho $AB=2\sqrt{3}$

Hướng dẫn

Do đường thẳng đi qua điểm M(1;3) nên ta có phương trình đường thẳng là $y=k(x-1)+3$
Phương trình hoành độ giao điểm là
$$\frac{2x+1}{x+1}=k(x-1)+3$$
$$\Leftrightarrow kx^2+x+2-k=0(1)$$
Gọi $A(a;k(a-1)+3)$ và $B(b;k(b-1)+3)$.Ta có a và b là nghiệm của phương trình (1) do vậy theo hệ thức viet thì
$$\left\{\begin{matrix}  a+b=\frac{-1}{k} \\  ab=\frac{2-k}{k} \end{matrix}\right.$$
Do $AB=2\sqrt{3}$ nên ta có
$$AB=\sqrt{(a-b)^2+(k(a-b))^2}=\sqrt{(a+b)^2-4ab+k^2((a+b)^2-4ab)}$$
Đến đây bạn thay các giá trị của $a+b$ và $ab$ để tính

Bài 13: Cho hàm số $y=\dfrac{x-m}{1-x}$ có đồ thị là $(C_m)$, m là tham số khác 1.1.  Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với $m=3$.2.  Tìm các giá trị của m để tiếp tuyến bất kì của $(C_m)$ cùng với 2 đường tiệm cận giới hạn một tam giác có diện tích bằng 4.

Hướng dẫn

Gọi điểm $M(x_0; \dfrac{x_{0}-m}{1-x_{0}})$,tiệm cận $I(1,-1)$.Phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ là : $$\Delta  y=\dfrac{(1-m)}{(1-x)^2}(x-x_0)+\dfrac{x_0 -m}{1-x_0} (x_0\neq 1)$$
Giao điểm của $\Delta$ với tiệm cận ngang và tiệm đứng lần lượt là: $A(2x_0 -1,-1)$ và $B(1,\dfrac{x_0 -2m+1}{1-x_0})$
Ta có :$AI=2\begin{vmatrix} \dfrac{m-1}{1-x_0} \end{vmatrix}$,$BI=2\begin{vmatrix} 1-x_0 \end{vmatrix}$ $$S_{BIA}=\dfrac{1}{2} AI.BI=2\begin{vmatrix} m-1 \end{vmatrix}=4 \Leftrightarrow \begin{vmatrix} m-1 \end{vmatrix}=2\Leftrightarrow m=3,m=-1$$

Bài 14: Cho hàm số $y = \dfrac{3x- 4}{4x + 3}\quad (C)$1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$2. Viết phương trình các tiếp tuyến tại các điểm $A$ thuộc $(C)$ biết tiếp tuyến cắt trục hoành tại $B$ sao cho tam giác $OAB$ cân tại $A$

Gọi $\ M$ là trung điểm của $\ OB$ có tọa độ $\ M(x_0; 0)$.
Suy ra tọa độ điểm $\ B(2x_0; 0); A (x_0; \dfrac{3x_0- 4}{4x_0 + 3} )$
Ta có: $\ \overrightarrow{AB}=(x_0; \dfrac{4-3x_0}{4x_0+3})$. suy ra: $\ k=\dfrac{4-3x_0}{x_0(4x_0+3)}$
Mà ta lại có: $\ k=f'(x_0)=\dfrac{25}{(4x_0+3)^2}$, từ đó suy ra: $$\dfrac{4-3x_0}{x_0(4x_0+3)}=\dfrac{25}{(4x_0+3)^2} \Leftrightarrow 2x_0^2+3x_0-2=0  \Leftrightarrow  \left[\begin{array}{1} x_0=-2 \\\ x_0=\dfrac{1}{2} \end{array} \right.$$  Việc còn lại thì đơn giản

Bài 15: Cho hàm số $y=\dfrac{2x-1}{x+1}$[*] Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $\left(C\right)$ của hàm số.[*] Tìm tọa độ điểm $M$ trên $\left(C\right)$ sao cho khoảng cách từ điểm $I\left( { - 1; 2} \right)$ tới tiếp tuyến của $\left(C\right)$  tại $M$ là lớn nhất.

Hướng dẫn

Xét điểm $M\left(a-1;\dfrac{2a-3}{a}\right)\in(C)$

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số $(C)$ tại $M$ là: $$y=\dfrac{3}{a^2}\left(x-a+1\right)+\dfrac{2a-3}{a}$$ $$\Leftrightarrow 3x-a^2y-2a^2-6a+3=0 \ (\Delta)$$

Ta có: $$d_{I/(\Delta)}=\dfrac{|6a|}{\sqrt{a^4+9}}$$

Vì $\ \ a^4+9\geq 2\sqrt{9a^4}=6a^2\Rightarrow \sqrt{a^4+9}\geq \sqrt{6}|a|\Rightarrow d_{I/(\Delta)}\leq \sqrt{6}$

Dấu bằng xảy ra khi $\ a=\pm \sqrt{3}$