Hàm số : $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ [ LẦN 2]

Bài 6: Cho hàm số : $y = \frac{{2x - 4}}{{x + 1}}(C)$Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến này cắt tiềm cận đứng của $(C)$ tại A, tiềm cận ngang của $(C)$ tại B sao cho $IB=6IA$ ( I là giao điểm của 2 tiềm cận).

Hướng dẫn

Ta thấy góc tạo bởi tiếp tuyến và tiệm cận ngang cũng là góc tạo bởi tiếp tuyến với trục $Ox$
Xét điểm $M \left(a;\dfrac{2a-4}{a+1}\right) \in (C)$ thì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $M$ là $\ k=f'(a)=\dfrac{6}{(a+1)^2}$

Mặt khác hệ số góc của tiếp tuyến cũng là $\tan$ góc tạo bởi tiếp tuyến và trục $Ox$. Ta có $\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{1}{6} \Rightarrow \left[\begin{array}{l}k=\dfrac{1}{6}\\k=-\dfrac{1}{6} \ (Loại)\end{array}\right.$

Giải $ \ \dfrac{6}{(a+1)^2}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow a $
Từ đó viết được hai tiếp tuyến ứng với $2$ tiếp điểm tương ứng. (Chú ý loại trường hợp tiếp tuyến đi qua $I$ nếu có)

Bài 7: Cho hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}$ có đồ thị là $(C)$1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cùng với hai đường tiềm cận của $(C)$ tạo thành tam giác cân.

Hướng dẫn
Gọi $M(x_0;y_0)$ là điểm bất kỳ trên $(C)$ $ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 x_0  \ne 1 \\
 y_0  = \frac{{2x_0  - 1}}{{x_0  - 1}} \\
 \end{array} \right. \Rightarrow y'\left( {x_0 } \right) = \frac{{ - 1}}{{\left( {x_0  - 1} \right)^2 }}$
$\Rightarrow $ Tiếp tuyến $\Delta$ của $(C)$ tại $M$ có hệ số góc là   $k = y'\left( {x_0 } \right) = \frac{{ - 1}}{{\left( {x_0  - 1} \right)^2 }}$
Vì tiếp tuyến $\Delta$ tạo với 2 tiềm cận một tam giác cân nên có hệ số góc bằng 1 hoặc -1.
Do $\begin{array}{l}
 k < 0\forall x \ne 1 \Rightarrow \frac{{ - 1}}{{\left( {x_0  - 1} \right)^2 }} =  - 1 \\
  \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x_0  = 2 \Rightarrow y_0  = 3 \\
 x_0  = 0 \Rightarrow y_0  = 1 \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}$
$\Rightarrow $ Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là :
$\Delta : y=-x+5$ và $\Delta' : y=-x+1$

Bài 8: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(H)$ của hàm số $y=\dfrac{-2x+1}{x+1}$.2. Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=-x+m$ cắt $(H)$ tại hai điểm $A, \,B$ thỏa mãn $AB=2\sqrt{2}$.

Hướng giải
Tập xác định của hàm số: D=R\{-1}
Phương trình hoành độ giao điểm là:
$$\frac{-2x+1}{x+1}=-x+m$$$$\Leftrightarrow -2x+1=(x+1)(-x+m)$$$$\Leftrightarrow x^2-x(m+1)+1-m=0(1)$$
Gọi $A(a;-a+m)$ và $B(b;-b+m)$ là 2 điểm thoả mãn điều kiện đề bài đã cho.Ta có
$$AB=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{(a-b)^2+(b-a)^2}$$$$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}=\sqrt{2(a+b)^2-8ab}$$
Đến đây ta có $a;b$ là các nghiệm của phương trình (1) nên các bạn dùng viet để giải quyết tiếp

Bài 9:Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.2. Tìm trên $(C)$ những điểm có tổng khoảng cách đến 2 đường tiệm cận nhỏ nhất.

Hướng dẫn :
1. Bạn tự khảo sát và vẽ.
2. Gọi $M\left( {x_0 ;\frac{{2x_0  - 1}}{{x_0  + 1}}} \right)$ là điểm thuộc $(C)$ $\left( {x_0  \ne  - 1} \right)$.
\[
\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2
\]
Suy ra đồ thị hàm số có tiềm cận ngang $y=2$.
\[
\begin{array}{l}
 \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1^ +  } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} =  - \infty  \\
 \mathop {\lim }\limits_{x \to  - 1^ -  } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} =  + \infty  \\
 \end{array}
\]
Suy ra đồ thị hàm số có tiềm cận đứng $x=-1$.
Tổng khoảng cách từ $M$ đến 2 tiềm cận là :
$d = \left| {x_0  + 1} \right| + \left| {\frac{{2x_0  - 1}}{{x_0  + 1}} - 2} \right| = \left| {x_0  + 1} \right| + \frac{3}{{\left| {x_0  + 1} \right|}} = 2\sqrt 3 $ (BĐT Cauchy).
Dấu $"="$ xảy ra khi và chỉ khi :
\[
\begin{array}{l}
 d = \left| {x_0  + 1} \right| + \left| {\frac{{2x_0  - 1}}{{x_0  + 1}} - 2} \right| = \left| {x_0  + 1} \right| + \frac{3}{{\left| {x_0  + 1} \right|}} = 2\sqrt 3  \\
 \left| {x_0  + 1} \right| = \frac{3}{{\left| {x_0  + 1} \right|}} \\
  \Leftrightarrow \left( {x_0  + 1} \right)^2  = 3 \\
  \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 x_0  = \sqrt 3  - 1 \Rightarrow y_o  = 2 - \sqrt 3  \\
 x_0  =  - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) \Rightarrow y_0  = 2 + \sqrt 3  \\
 \end{array} \right. \\
 \end{array}
\]

Bài 10: Cho hàm số: $y=\dfrac{{3x - 1}}{{x + 2}}$. Tìm $k$ để đường thẳng $y = k(x - 1)$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt sao cho độ dài đoạn thẳng nối 2 điểm đó có giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d)  $y = k(x - 1)$ và (H)  $y=\dfrac{{3x - 1}}{{x + 2}}$ là

\[
\frac{{3x - 1}}{{x + 2}} = kx - k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 f(x) = kx^2  + (k - 3)x - 2k + 1 = 0 \\
 x \ne  - 2 \\
 \end{array} \right.
\]
Để (d) cắt (H) tại hai điểm phan biệt thì f(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt khác $-2$.Tương đương với:

\[
\left\{ \begin{array}{l}
 \Delta  > 0 \\
 f( - 2) \ne 0 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 (k - 3)^2  - 4k( - 2k + 1) > 0 \\
 4k - 2(k - 3) - 2k + 1 \ne 0 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
 k^2  - 10k + 9 > 0 \\
 7 \ne 0 \\
 \end{array} \right.
\]
Vì hệ này thoả mãn với mọi giá trị của k nên d và $(H)$ luôn cắt nhau  tại hai điểm phân biệt A,B.
Giả sử $A$,$B$ có toạ độ lần lượt là $ A(x_1 ;y_1 ),B(x_1 ;y_1 )$ thì ta có $ x_1 $ ; $ x_2 $ là hai nghiệm của phương trình $ f(x) = 0 $
Do A; B thuộc $d$ nên $ y_1 $= k($ x_1 $ -1) ; $ y_2 $ = k($ y_2 $ -1)
Và như thế ta tính được
\[
AB^2  = (x_2  - x_1 )^2  + \left( {y{}_2 - y_1 } \right)^2  = [\left( {x_2  + x_1 } \right)^2  - 4x_1 x_2 ](k^2  + 1)
\]
Mặt khác
\[
x_1  + x_2  = \frac{{3 - k}}{k};x_1 x_2  = \frac{{1 - 2k}}{k}
\]
Do vậy
\[
AB^2  = \left[ {\left( {3k - \frac{5}{3}} \right)^2  + \frac{{56}}{9}} \right](1 + \frac{1}{{k^2 }}) \ge 16
\]
Dấu bằng xảy ra khi k=1