Thứ Năm, 18 tháng 10, 2012

Hàm số : $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ [ LẦN 2]

Bài 6: Cho hàm số : $y = \frac{{2x - 4}}{{x + 1}}(C)$ Viết phương trình tiếp tuyến của $(C)$ biết tiếp tuyến này cắt tiềm cận đứng của $(C)$ tại A, tiềm cận ngang của $(C)$ tại B sao cho $IB=6IA$ ( I là giao điểm của 2 tiềm cận).

Hướng dẫn

Ta thấy góc tạo bởi tiếp tuyến và tiệm cận ngang cũng là góc tạo bởi tiếp tuyến với trục

$Ox$
Xét điểm

$M \left(a;\dfrac{2a-4}{a+1}\right) \in (C)$ thì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm

$M$ là

$\ k=f'(a)=\dfrac{6}{(a+1)^2}$

Mặt khác hệ số góc của tiếp tuyến cũng là

$\tan$ góc tạo bởi tiếp tuyến và trục

$Ox$ . Ta có

$\dfrac{IA}{IB}=\dfrac{1}{6} \Rightarrow \left[\begin{array}{l}k=\dfrac{1}{6}\\k=-\dfrac{1}{6} \ (Loại)\end{array}\right.$

Giải

$\ \dfrac{6}{(a+1)^2}=\dfrac{1}{6}\Rightarrow a$
Từ đó viết được hai tiếp tuyến ứng với

$2$ tiếp điểm tương ứng. (Chú ý loại trường hợp tiếp tuyến đi qua

$I$ nếu có)

Bài 7: Cho hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{x - 1}}$ có đồ thị là $(C)$ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số biết tiếp tuyến cùng với hai đường tiềm cận của $(C)$ tạo thành tam giác cân.

Hướng dẫn
Gọi

$M(x_0;y_0)$ là điểm bất kỳ trên

$(C)$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} x_0 \ne 1 \\ y_0 = \frac{{2x_0 - 1}}{{x_0 - 1}} \\ \end{array} \right. \Rightarrow y'\left( {x_0 } \right) = \frac{{ - 1}}{{\left( {x_0 - 1} \right)^2 }}$

$\Rightarrow$ Tiếp tuyến

$\Delta$ của

$(C)$ tại

$M$ có hệ số góc là

$k = y'\left( {x_0 } \right) = \frac{{ - 1}}{{\left( {x_0 - 1} \right)^2 }}$
Vì tiếp tuyến

$\Delta$ tạo với 2 tiềm cận một tam giác cân nên có hệ số góc bằng 1 hoặc -1.
Do

$\begin{array}{l} k < 0\forall x \ne 1 \Rightarrow \frac{{ - 1}}{{\left( {x_0 - 1} \right)^2 }} = - 1 \\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0 = 2 \Rightarrow y_0 = 3 \\ x_0 = 0 \Rightarrow y_0 = 1 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

$\Rightarrow$ Có 2 tiếp tuyến thỏa mãn đề bài là :

$\Delta : y=-x+5$ và

$\Delta' : y=-x+1$

Bài 8: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(H)$ của hàm số $y=\dfrac{-2x+1}{x+1}$ .2. Tìm $m$ để đường thẳng $d: y=-x+m$ cắt $(H)$ tại hai điểm $A, \,B$ thỏa mãn $AB=2\sqrt{2}$ .

Hướng giải
Tập xác định của hàm số: D=R\{-1}
Phương trình hoành độ giao điểm là:

$\frac{-2x+1}{x+1}=-x+m$

$\Leftrightarrow -2x+1=(x+1)(-x+m)$

$\Leftrightarrow x^2-x(m+1)+1-m=0(1)$
Gọi

$A(a;-a+m)$ và

$B(b;-b+m)$ là 2 điểm thoả mãn điều kiện đề bài đã cho.Ta có

$AB=2\sqrt{2}\Leftrightarrow \sqrt{(a-b)^2+(b-a)^2}$

$\Leftrightarrow 2\sqrt{2}=\sqrt{2(a+b)^2-8ab}$
Đến đây ta có

$a;b$ là các nghiệm của phương trình (1) nên các bạn dùng viet để giải quyết tiếp

Bài 9:Cho hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị $(C)$ của hàm số.2. Tìm trên $(C)$ những điểm có tổng khoảng cách đến 2 đường tiệm cận nhỏ nhất.

Hướng dẫn :
1. Bạn tự khảo sát và vẽ.
2. Gọi

$M\left( {x_0 ;\frac{{2x_0 - 1}}{{x_0 + 1}}} \right)$ là điểm thuộc

$(C)$

$\left( {x_0 \ne - 1} \right)$ .

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = 2$
Suy ra đồ thị hàm số có tiềm cận ngang

$y=2$ .

$\begin{array}{l} \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1^ + } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = - \infty \\ \mathop {\lim }\limits_{x \to - 1^ - } \frac{{2x - 1}}{{x + 1}} = + \infty \\ \end{array}$
Suy ra đồ thị hàm số có tiềm cận đứng

$x=-1$ .
Tổng khoảng cách từ

$M$ đến 2 tiềm cận là :

$d = \left| {x_0 + 1} \right| + \left| {\frac{{2x_0 - 1}}{{x_0 + 1}} - 2} \right| = \left| {x_0 + 1} \right| + \frac{3}{{\left| {x_0 + 1} \right|}} = 2\sqrt 3$ (BĐT Cauchy).
Dấu

$"="$ xảy ra khi và chỉ khi :

$\begin{array}{l} d = \left| {x_0 + 1} \right| + \left| {\frac{{2x_0 - 1}}{{x_0 + 1}} - 2} \right| = \left| {x_0 + 1} \right| + \frac{3}{{\left| {x_0 + 1} \right|}} = 2\sqrt 3 \\ \left| {x_0 + 1} \right| = \frac{3}{{\left| {x_0 + 1} \right|}} \\ \Leftrightarrow \left( {x_0 + 1} \right)^2 = 3 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0 = \sqrt 3 - 1 \Rightarrow y_o = 2 - \sqrt 3 \\ x_0 = - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) \Rightarrow y_0 = 2 + \sqrt 3 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}$

Bài 10: Cho hàm số: $y=\dfrac{{3x - 1}}{{x + 2}}$ . Tìm $k$ để đường thẳng $y = k(x - 1)$ cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt sao cho độ dài đoạn thẳng nối 2 điểm đó có giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn
Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng (d)

$y = k(x - 1)$ và (H)

$y=\dfrac{{3x - 1}}{{x + 2}}$ là

$\frac{{3x - 1}}{{x + 2}} = kx - k \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} f(x) = kx^2 + (k - 3)x - 2k + 1 = 0 \\ x \ne - 2 \\ \end{array} \right.$
Để (d) cắt (H) tại hai điểm phan biệt thì f(x)=0 có 2 nghiệm phân biệt khác

$-2$ .Tương đương với:

$\left\{ \begin{array}{l} \Delta > 0 \\ f( - 2) \ne 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} (k - 3)^2 - 4k( - 2k + 1) > 0 \\ 4k - 2(k - 3) - 2k + 1 \ne 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k^2 - 10k + 9 > 0 \\ 7 \ne 0 \\ \end{array} \right.$
Vì hệ này thoả mãn với mọi giá trị của k nên d và

$(H)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B.
Giả sử

$A$ ,

$B$ có toạ độ lần lượt là

$A(x_1 ;y_1 ),B(x_1 ;y_1 )$ thì ta có

$x_1$ ;

$x_2$ là hai nghiệm của phương trình

$f(x) = 0$
Do A; B thuộc

$d$ nên

$y_1$ = k(

$x_1$ -1) ;

$y_2$ = k(

$y_2$ -1)
Và như thế ta tính được