Loading web-font TeX/Math/Italic

Thực hành để thành công


Thứ Năm, 18 tháng 10, 2012

Hàm số : y=\dfrac{ax+b}{cx+d} [ LẦN 1]


Bài 1:Cho hàm số : y=\dfrac{x-2}{x-1}. Lập phương trình đường thẳng đi qua A\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3} \right) cắt (C) tại 2 điểm M, N sao cho A thuộc đoạn MNAN = 2AM

Hướng dẫn
Bài toán này có thể giải quyết như thế này :
Trước tiên ta gọi hai tọa độ của hai điểm là \ M \left(x_1 \ ; \ 1 - \dfrac{1}{x_1-1} \right) \ ; \ N \left(x_2 \ ; \ 1 -\dfrac{1}{x_2-1} \right).
Do A nằm trong đoạn MNAN=2AM nên ta có : \ \overrightarrow{AN}=-2\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \begin{cases} x_2=2-2x_1 \\\\ -\dfrac{1}{3} +\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{x_2-1} + \dfrac{2}{x_1-1} \end{cases}
Từ đây ta suy ra hai điểm M(0;2) \ ; \ N(2;0) \Rightarrow y=2-x là đường thẳng muốn tìm bằng cách kiểm tra lại

Bài 2: Cho hàm số: y=\dfrac{x+2}{x+1}. Gọi I là giao điểm 2 đường tiềm cận,(d) là tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số. Tìm khoảng cách lớn nhất từ I đến (d)

Hướng dẫn
Gọi M(x_0;y_0) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số.
Ta có phương trình tiếp tuyến là \Delta:\ y=-\dfrac{1}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+y_0.
Gọi I(-1;1) là giao điểm hai đường TCĐ, TCN. Khi đó ta có
d(I,\Delta)=\dfrac{2|x_0+1|}{\sqrt{(x_0+1)^4+1}}

Đặt t=|x_0+1|, t>0 thì ta có d(I,\Delta)=\dfrac{2t}{\sqrt{t^4+1}}.

Theo AM-GM ta có t^4+1\ge 2t^2 \Rightarrow \sqrt{t^4+1}\ge \sqrt{2}t. Từ đó suy ra \dfrac{2t}{\sqrt{t^4+1}}=\dfrac{2|x_0+1|}{\sqrt{(x_0+1)^4+1}}\le \sqrt{2}.
Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách là \sqrt{2} đạt được tại điểm M(0;2)\vee M(-2;0)


Bài 3: Cho hàm số: y= \dfrac{x-1}{x+1} (C) .Tìm trên (C) những điểm có tổng khoảng cách đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất

Hướng dẫn

Gọi M(t; \dfrac{t-1}{t+1}) thì tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ sẽ là f(t)=|t|+ |\dfrac{t-1}{t+1}|
Đến đây bạn sử dụng PP khảo sát hàm số.
Tuy nhiên, để giảm số khoảng phải xét có thể nhận xét: Khi t=0 thì f(t)=1 nên GTNN của f(t) không quá 1, vì thế chỉ cần xét x từ -1 đến 1.

Đáp số min f(t)=2(\sqrt{2}-1) đạt được khi t=\sqrt{2}-1

Bài 4: Cho hàm số y=\dfrac{2x+1}{x-3} có đồ thị là (H). Gọi I là giao điểm của hai đường tiệm cận của (H). Tìm tất cả các điểm M thuộc nhánh phải của đồ thị (H) sao cho tiếp tuyến tại M cắt tiệm cận đứng của  (H) tại A và tam giác IAB có chu vi nhỏ nhất với B(-4;\,1)

Hướng dẫn
Ta có đường tiềm cận đứng có phương trình là x=3
Do I là giao điểm của 2 đường tiệm cận nên I(3;2)
Gọi M(a+3;\frac{2a+5}{a}) là điểm thoả mãn bài toán.Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là
y=\frac{-7}{a^2}(x-a-3)+\frac{2a+5}{a}

Phương trình này cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ
y=\frac{-7}{a^2}(3-a-3)+\frac{2a+5}{a}=\frac{2a+12}{a}

Vậy toạ độ điểm A(3;\frac{2a+12}{a})
Ta lại có {P}_{IAB}=IA+IB+AB
Mặt khác:
IB=\sqrt{(-4-3)^2+(1-2)^2}=5\sqrt{2}
IA=\sqrt{(\frac{12}{a})^2}=\frac{12}{a}
AB=\sqrt{(3+4)^2+(\frac{a+12}{a})^2}
Để chu vi của tam giác IAB là nhỏ nhất thì IA+AB phải nhỏ nhất hay:
\frac{12}{a}+\sqrt{49+(1+\frac{12}{a})^2} nhỏ nhất
Đến đây bạn tiếp tục làm




Bài 5 Cho hàm số y = \dfrac{2x}{x+2}, có đồ thị là (C).  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết rằng  khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn nhất

Hướng dẫn
Bài này khá quen thuộc.
+ Ta có: y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}
+ (C) có tâm đối xứng là I(2;-2);
+ M({x_0};{y_0}) \in (C), ({x_0} \ne  - 2) suy ra tiếp tuyến tại M là:
y = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}} \Leftrightarrow 4x - {\left( {{x_0} + 2} \right)^2}y + 2x_0^2 = 0 \left( \Delta  \right)

+  d(I;\Delta ) = \frac{{\left| {8{x_0} + 16} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {{x_0} + 2} \right)}^4}} }} \le 2\sqrt 2

Dấu "=" xảy ra khi 16 = {\left( {{x_0} + 2} \right)^4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  {x_0} + 2 = 2 \\  {x_0} + 2 =  - 2 \\  \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}  {x_0} = 0 \\  {x_0} =  - 4 \\  \end{array} \right.


Chia sẻ
  • Share to Facebook
  • Share to Twitter
  • Share to Google+
  • Share to Stumble Upon
  • Share to Evernote
  • Share to Blogger
  • Share to Email
  • Share to Yahoo Messenger
  • More...

0 nhận xét

:) :-) :)) =)) :( :-( :(( :d :-d @-) :p :o :>) (o) [-( :-? (p) :-s (m) 8-) :-t :-b b-( :-# =p~ :-$ (b) (f) x-) (k) (h) (c) cheer

 
© 2011 ThựcHành.vn
Designed by Nguoithay.vn Cooperated with Duy Pham
Phiên bản chạy thử nghiệm
Theo dõi bài viếtTheo dõi nhận xét
Lên đầu trang