Hàm số : $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ [ LẦN 1]

Bài 1:Cho hàm số : $y=\dfrac{x-2}{x-1}$. Lập phương trình đường thẳng đi qua $A\left(\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3} \right)$ cắt $(C)$ tại 2 điểm $M, N$ sao cho $A$ thuộc đoạn $MN$ và $AN = 2AM$

Hướng dẫn
Bài toán này có thể giải quyết như thế này :
Trước tiên ta gọi hai tọa độ của hai điểm là $\ M \left(x_1 \ ; \ 1 - \dfrac{1}{x_1-1} \right) \ ; \ N \left(x_2 \ ; \ 1 -\dfrac{1}{x_2-1} \right).$
Do $A$ nằm trong đoạn $MN$ và $AN=2AM$ nên ta có : $\ \overrightarrow{AN}=-2\overrightarrow{AM} \Leftrightarrow \begin{cases} x_2=2-2x_1 \\\\ -\dfrac{1}{3} +\dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{x_2-1} + \dfrac{2}{x_1-1} \end{cases}$
Từ đây ta suy ra hai điểm $M(0;2) \ ; \ N(2;0) \Rightarrow y=2-x$ là đường thẳng muốn tìm bằng cách kiểm tra lại

Bài 2: Cho hàm số: $ y=\dfrac{x+2}{x+1}$. Gọi $I$ là giao điểm 2 đường tiềm cận,$(d)$ là tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số. Tìm khoảng cách lớn nhất từ $I$ đến $(d)$

Hướng dẫn
Gọi $M(x_0;y_0)$ là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến bất kì của đồ thị hàm số.
Ta có phương trình tiếp tuyến là $\Delta:\ y=-\dfrac{1}{(x_0+1)^2}(x-x_0)+y_0$.
Gọi $I(-1;1)$ là giao điểm hai đường TCĐ, TCN. Khi đó ta có
$$d(I,\Delta)=\dfrac{2|x_0+1|}{\sqrt{(x_0+1)^4+1}}$$
Đặt $t=|x_0+1|, t>0$ thì ta có $d(I,\Delta)=\dfrac{2t}{\sqrt{t^4+1}}$.

Theo AM-GM ta có $t^4+1\ge 2t^2 \Rightarrow \sqrt{t^4+1}\ge \sqrt{2}t$. Từ đó suy ra $\dfrac{2t}{\sqrt{t^4+1}}=\dfrac{2|x_0+1|}{\sqrt{(x_0+1)^4+1}}\le \sqrt{2}$.
Vậy giá trị lớn nhất của khoảng cách là $\sqrt{2}$ đạt được tại điểm $M(0;2)\vee M(-2;0)$

Bài 3: Cho hàm số: $ y= \dfrac{x-1}{x+1} (C) $.Tìm trên $(C)$ những điểm có tổng khoảng cách đến 2 trục tọa độ là nhỏ nhất

Hướng dẫn

Gọi $M(t; \dfrac{t-1}{t+1})$ thì tổng khoảng cách đến hai trục tọa độ sẽ là $f(t)=|t|+ |\dfrac{t-1}{t+1}|$
Đến đây bạn sử dụng PP khảo sát hàm số.
Tuy nhiên, để giảm số khoảng phải xét có thể nhận xét: Khi $t=0$ thì $f(t)=1$ nên GTNN của $f(t)$ không quá $1$, vì thế chỉ cần xét $x$ từ $-1$ đến $1$.

Đáp số $min f(t)=2(\sqrt{2}-1)$ đạt được khi $t=\sqrt{2}-1$

Bài 4: Cho hàm số $y=\dfrac{2x+1}{x-3}$ có đồ thị là $(H).$ Gọi $I$ là giao điểm của hai đường tiệm cận của $(H)$. Tìm tất cả các điểm $M$ thuộc nhánh phải của đồ thị $(H)$ sao cho tiếp tuyến tại $M$ cắt tiệm cận đứng của  $(H)$ tại $A$ và tam giác $IAB$ có chu vi nhỏ nhất với $B(-4;\,1)$

Hướng dẫn
Ta có đường tiềm cận đứng có phương trình là $x=3$
Do I là giao điểm của 2 đường tiệm cận nên $I(3;2)$
Gọi $M(a+3;\frac{2a+5}{a})$ là điểm thoả mãn bài toán.Phương trình tiếp tuyến tại điểm M là
$$y=\frac{-7}{a^2}(x-a-3)+\frac{2a+5}{a}$$
Phương trình này cắt tiệm cận đứng tại điểm có tung độ
$$y=\frac{-7}{a^2}(3-a-3)+\frac{2a+5}{a}=\frac{2a+12}{a}$$
Vậy toạ độ điểm $A$ là $(3;\frac{2a+12}{a})$
Ta lại có ${P}_{IAB}=IA+IB+AB$
Mặt khác:
$IB=\sqrt{(-4-3)^2+(1-2)^2}=5\sqrt{2}$
$IA=\sqrt{(\frac{12}{a})^2}=\frac{12}{a}$
$AB=\sqrt{(3+4)^2+(\frac{a+12}{a})^2}$
Để chu vi của tam giác IAB là nhỏ nhất thì $IA+AB$ phải nhỏ nhất hay:
$\frac{12}{a}+\sqrt{49+(1+\frac{12}{a})^2}$ nhỏ nhất
Đến đây bạn tiếp tục làm

Bài 5 Cho hàm số $y = \dfrac{2x}{x+2},$ có đồ thị là $(C).$  Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ biết rằng  khoảng cách từ tâm đối xứng của đồ thị $(C)$ đến tiếp tuyến lớn nhất

Hướng dẫn
Bài này khá quen thuộc.
+ Ta có: $y' = \frac{4}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}$
+ (C) có tâm đối xứng là $I(2;-2)$;
+ $M({x_0};{y_0}) \in (C), ({x_0} \ne  - 2)$ suy ra tiếp tuyến tại $M$ là:
\[y = \frac{4}{{{{\left( {{x_0} + 2} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + \frac{{2{x_0}}}{{{x_0} + 2}} \Leftrightarrow 4x - {\left( {{x_0} + 2} \right)^2}y + 2x_0^2 = 0 \left( \Delta  \right)\]
+  \[d(I;\Delta ) = \frac{{\left| {8{x_0} + 16} \right|}}{{\sqrt {16 + {{\left( {{x_0} + 2} \right)}^4}} }} \le 2\sqrt 2 \]
Dấu "=" xảy ra khi \[16 = {\left( {{x_0} + 2} \right)^4} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 {x_0} + 2 = 2 \\
 {x_0} + 2 =  - 2 \\
 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
 {x_0} = 0 \\
 {x_0} =  - 4 \\
 \end{array} \right.\]